Question

Разложите на множители многочлены: p^2-q^2-p-q 4x^2-4xy+y^2-9 a^4-1 Заранее спасибо!

Answer 1

1)    $p^2-q^2-p-q=(p^2-q^2)-(p+q)=$

 $=(p-q)(p+q)-(p+q)=(p+q)(p-q-1)$

Ответ:     $(p+q)=(p+q)(p-q-1)$

2)    $4x^2-4xy+y^2-9=(4x^2-4xy+y^2)-9=$

   $=(2x-y)^2-9=(2x-y)^2-3^2=(2x-y-3)(2x-y+3)$

Ответ:   $(2x-y-3)(2x-y+3)$

3)        $a^4-1=a^4-1^2=(a^2-1)(a^2+1)=$

    $=(a^2-1^2)(a^2+1)=(a-1)(a+1)(a^2+1)$

Ответ:  $(a-1)(a+1)(a^2+1)$

Answer 2

Конечно, давайте разложим каждый из этих многочленов на множители:

1. p^2 - q^2 - p - q

   Этот многочлен можно представить как разность квадратов (p^2 - q^2) и вынести общий множитель (p + q):

   p^2 - q^2 - p - q = (p^2 - q^2) - (p + q)

   Затем разложим разность квадратов p^2 - q^2:

   (p^2 - q^2) = (p - q)(p + q)

   Теперь подставим это обратно в исходный многочлен:

   (p - q)(p + q) - (p + q)

   Теперь мы можем вынести общий множитель (p + q):

   (p + q)((p - q) - 1)

   Итак, многочлен p^2 - q^2 - p - q можно разложить на множители как (p + q)(p - q - 1).

2. 4x^2 - 4xy + y^2 - 9

   Этот многочлен также можно представить как разность квадратов. Заметим, что 4x^2 - 4xy + y^2 является квадратом разности (2x - y):

   4x^2 - 4xy + y^2 = (2x - y)^2

   Теперь мы имеем:

   4x^2 - 4xy + y^2 - 9 = (2x - y)^2 - 9

   Теперь разложим разность квадратов (2x - y)^2 - 9:

   ((2x - y) + 3)((2x - y) - 3)

   Таким образом, многочлен 4x^2 - 4xy + y^2 - 9 можно разложить на множители как (2x - y + 3)(2x - y - 3).

3. a^4 - 1

   Этот многочлен также является разностью квадратов (a^2 - 1), которую можно разложить как разность квадратов (a^2 - 1) = (a - 1)(a + 1):

   a^4 - 1 = (a^2 - 1)(a^2 + 1)

   Затем разложим квадрат суммы (a^2 + 1):

   (a^2 + 1) = (a - i)(a + i), где i - мнимая единица.

   Теперь мы имеем:

   a^4 - 1 = (a - 1)(a + 1)(a - i)(a + i)

   Многочлен a^4 - 1 можно разложить на множители как (a - 1)(a + 1)(a - i)(a + i).