Question

(x^2+3*x+54)/(x^2-8*x+15)+8/(x-5)≤0 Решить в конце методом интервалов

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Чтобы решить неравенство $\frac{x^2 + 3x + 54}{x^2 - 8x + 15} + \frac{8}{x - 5} \leq 0$ методом интервалов, мы должны следовать этим шагам:

1. Найдите точки, где функция обращается в ноль и где у нее вертикальные асимптоты.
2. Определите знак функции в каждом интервале между найденными точками.
3. Используйте информацию о знаке функции, чтобы определить интервалы, в которых неравенство выполняется.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найдем точки, где функция обращается в ноль и вертикальные асимптоты:

   a) Для $x^2 - 8x + 15 = 0$, найдем корни квадратного уравнения:

   $x^2 - 8x + 15 = 0$

   Решение: $x = 3$ и $x = 5$.

   b) Для $x - 5 = 0$, найдем точку, где у функции вертикальная асимптота: $x = 5$.

Теперь у нас есть точки $x = 3$ и $x = 5$, а также вертикальная асимптота $x = 5$. Мы можем использовать эти точки для определения интервалов.

2. Определим знак функции в каждом интервале:

   a) Интервал $(-\infty, 3)$:

   Проверим знаки в каждой части неравенства:

   В числителе первой дроби $x^2 + 3x + 54$, дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 54 = -189$, что означает, что уравнение $x^2 + 3x + 54 = 0$ не имеет вещественных корней. Таким образом, знак числителя всегда положителен на этом интервале.

   В знаменателе первой дроби $x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5)$, и мы видим, что знаменатель положителен на интервале $(-\infty, 3)$.

   Для второй дроби $\frac{8}{x - 5}$, знаменатель $(x - 5)$ положителен на интервале $(-\infty, 5)$, а числитель (8) всегда положителен.

   Теперь определим знак неравенства в каждой части неравенства:

   $\frac{x^2 + 3x + 54}{x^2 - 8x + 15} + \frac{8}{x - 5} \leq 0$

   Поскольку числитель первой дроби всегда положителен, а знаменатель первой дроби также положителен, то первая дробь всегда положительна на интервале $(-\infty, 3)$.

   Вторая дробь $\frac{8}{x - 5}$ положительна на интервале $(-\infty, 5)$.

   Таким образом, сумма двух положительных чисел всегда больше нуля, и неравенство не выполняется на интервале $(-\infty, 3)$.

   b) Интервал (3, 5):

   Мы уже знаем, что знак числителя первой дроби положителен, а знаменатель первой дроби положителен в этом интервале.

   Вторая дробь $\frac{8}{x - 5}$ отрицательна на этом интервале.

   Таким образом, сумма положительного числа и отрицательного числа может быть меньше или равна нулю. Неравенство может выполняться на интервале (3, 5).

   c) Интервал (5, $\infty$):

   Мы уже знаем, что знак числителя первой дроби положителен, а знаменатель первой дроби положителен в этом интервале.

   Вторая дробь $\frac{8}{x - 5}$ положительна на этом интервале.

   Таким образом, сумма двух положительных чисел всегда больше нуля, и неравенство не выполняется на интервале (5, $\infty$).

3. Теперь, когда мы определили знак функции на каждом интервале, найдем интервалы, в которых неравенство выполняется:

   Неравенство выполняется на интервале (3, 5), так как на этом интервале функция может быть меньше или равна нулю.

Итак, решение неравенства $\frac{x^2 + 3x + 54}{x^2 - 8x + 15} + \frac{8}{x - 5} \leq 0$ методом интервалов: $x \in (3, 5)$.