Question

укажіть первісну для функції f(x)=4 cos 4x+1/2 sin x/2 графік якої проходить через точку А(п/2; ✓2/2)​

Answer 1

Ответ:

$f(x)=4cos4x+\frac{1}{2}sin\frac{x}{2}\\ \\F(x)=4*\frac{1}{4}sin4x+\frac{1}{2}*2(-cos\frac{x}{2})+C=sin4x-cos\frac{x}{2}+C\\ A(\frac{\pi }{2};\frac{\sqrt{2} }{2})\\ \frac{\sqrt{2} }{2}=sin(4*\frac{\pi }{2})-cos\frac{\pi }{2*2} +C\\ C=\frac{\sqrt{2} }{2}+\frac{\sqrt{2} }{2}\\ C=\sqrt{2}\\ F(x)=sin4x-cos\frac{x}{2}+\sqrt{2}$

Объяснение:

Answer 2

Для знаходження первісної функції для даної функції f(x), спочатку розглянемо окремо два її члени:

1. 4 cos(4x)
2. 1/2 sin(x/2)

Похідна від cos(4x) є -4 sin(4x), і похідна від sin(x/2) є (1/2)cos(x/2). Тепер, для знаходження первісної функції, інтегруємо ці частини окремо.

1. Інтеграл від -4 sin(4x) відносно x: ∫-4 sin(4x) dx = 4/4 cos(4x) + C₁ = cos(4x) + C₁

2. Інтеграл від (1/2)cos(x/2) відносно x: ∫(1/2)cos(x/2) dx = (1/2)(2)sin(x/2) + C₂ = sin(x/2) + C₂

Тепер, щоб знайти первісну функцію для f(x), просто додайте ці два результати разом:

F(x) = cos(4x) + sin(x/2) + C,

де C = C₁ + C₂ - це довільна константа інтеграції.

Тепер ми можемо використати точку А(π/2, √2/2), щоб знайти значення константи C. Підставимо значення x = π/2 та y = √2/2 в рівняння:

√2/2 = cos(4(π/2)) + sin(π/4) + C

√2/2 = cos(2π) + sin(π/4) + C

Косинус 2π і синус π/4 дорівнюють нулю, тому:

√2/2 = 0 + 1/√2 + C

Тепер виразимо C:

C = √2/2 - 1/√2

C = (√2 - 1)/√2

Отже, первісна функція для f(x) виглядає наступним чином:

F(x) = cos(4x) + sin(x/2) + (√2 - 1)/√2.