Question

Срочно!!!!1 Найди наименьшее возможное значение функции F(x,y)=3x^2+4xy+3y^2−2x+2y+10, если числа x, y пробегают всевозможные действительные числа.

Answer 1

F(x,y)=3x^2+4xy+3y^2−2x+2y+10

2x^2+4xy+2y^2 + x^2−2x + 1 + y^2+2y+1 + 8 = 2(x + y)^2 + (x - 1)^2 + (y + 1)^2 + 8

Минимум когда квадраты = 0  x = 1 y = -1  

Минимум 8

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции F(x, y) = 3x^2 + 4xy + 3y^2 - 2x + 2y + 10, когда x и y пробегают все действительные числа, мы можем воспользоваться методом дифференциального исчисления. Найдем частные производные этой функции по x и y и приравняем их к нулю, чтобы найти критические точки:

Частная производная по x: ∂F/∂x = 6x + 4y - 2

Частная производная по y: ∂F/∂y = 4x + 6y + 2

Теперь приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

6x + 4y - 2 = 0 ...(1) 4x + 6y + 2 = 0 ...(2)

Умножим уравнение (1) на 2 и уравнение (2) на -3, чтобы получить систему с одинаковыми коэффициентами для x:

12x + 8y - 4 = 0 ...(3) -12x - 18y - 6 = 0 ...(4)

Теперь сложим уравнение (3) и уравнение (4), чтобы устранить переменную x:

(12x + 8y - 4) + (-12x - 18y - 6) = 0

8y - 18y - 4 - 6 = 0

-10y - 10 = 0

-10y = 10

y = -1

Теперь, найдем значение x, подставив y = -1 в уравнение (1):

6x + 4(-1) - 2 = 0

6x - 4 - 2 = 0

6x - 6 = 0

6x = 6

x = 1

Итак, мы нашли критическую точку (x, y) = (1, -1).

Теперь найдем значение функции F(x, y) в этой точке:

F(1, -1) = 3(1)^2 + 4(1)(-1) + 3(-1)^2 - 2(1) + 2(-1) + 10 F(1, -1) = 3 - 4 - 3 - 2 - 2 + 10 F(1, -1) = 2

Наименьшее возможное значение функции F(x, y) равно 2.