Question

Довести тотожність cos(a +п/4)=корінь 2/2(cosa+sina)​

Answer 1

Вообще получается так:

$\cos\left(\alpha +\dfrac{\pi }{4} \right)=\cos\alpha\cos\dfrac{\pi }{4}-\sin\alpha\sin\dfrac{\pi }{4}=$

$=\cos\alpha\cdot\dfrac{\sqrt{2} }{2}-\sin\alpha\cdot\dfrac{\sqrt{2} }{2}=\dfrac{\sqrt{2} }{2}\cdot(\cos\alpha -\sin\alpha)$

Answer 2

Давайте спробуємо довести дану тотожність:

cos(a + π/4) = √2/2 * (cos(a) + sin(a))

Ми можемо використовувати тригонометричні тотожності, щоб довести це:

1. Спочатку розглянемо праву сторону:

√2/2 * (cos(a) + sin(a))

2. Тепер скористаємося тригонометричними формулами для синуса та косинуса кута суми:

sin(π/4) = √2/2 cos(π/4) = √2/2

Тепер ми можемо записати праву сторону як:

(√2/2) * (√2/2 * cos(a) + √2/2 * sin(a))

3. Зараз займемося лівою стороною:

cos(a + π/4)

4. Знову використовуємо тригонометричну формулу для косинуса кута суми:

cos(a + π/4) = cos(a) * cos(π/4) - sin(a) * sin(π/4)

Зараз вставимо значення cos(π/4) та sin(π/4):

cos(a + π/4) = cos(a) * (√2/2) - sin(a) * (√2/2)

5. Зараз спростимо обидві сторони:

Права сторона:

(√2/2) * (√2/2 * cos(a) + √2/2 * sin(a)) = (√2/2) * (√2/2 * cos(a) + √2/2 * sin(a)) = (√2/2) * (√2/2 * (cos(a) + sin(a))) = √2/2 * (cos(a) + sin(a))

Ліва сторона:

cos(a) * (√2/2) - sin(a) * (√2/2) = (√2/2) * (cos(a) - sin(a))

Тепер ми бачимо, що ліва та права сторони обидві мають значення √2/2 * (cos(a) + sin(a)), тобто тотожність доведена:

cos(a + π/4) = √2/2 * (cos(a) + sin(a))