Question

Цифры четырехзначного числа образуют геометрическую прогрессию. Если из него вычесть 990, получится число, цифры которого образуют арифметическая прогрессию. Найдите это четырехзначное число.

Answer 1

Ответ:

4567

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом.

Пусть наше четырехзначное число имеет следующий вид: ABCD, где A, B, C и D - цифры.

1. Мы знаем, что цифры этого числа образуют геометрическую прогрессию. Это означает, что:

   B = A * r C = A * r^2 D = A * r^3

   Где r - множитель геометрической прогрессии.

2. Мы также знаем, что если из этого числа вычесть 990, получится число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что:

   (A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D) - 990 = E * 1000 + F * 100 + G * 10 + H

   Где E, F, G и H - цифры арифметической прогрессии.

3. Теперь у нас есть два набора уравнений, один для геометрической прогрессии и другой для арифметической:

   B = A * r C = A * r^2 D = A * r^3

   (A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D) - 990 = E * 1000 + F * 100 + G * 10 + H

4. Подставим значения B, C и D из первой системы уравнений во вторую:

   (A * 1000 + A * r * 100 + A * r^2 * 10 + A * r^3) - 990 = E * 1000 + F * 100 + G * 10 + H

5. Теперь объединим все члены с A:

   A * (1000 + 100 * r + 10 * r^2 + r^3) - 990 = E * 1000 + F * 100 + G * 10 + H

6. Рассмотрим выражение в скобках. Оно представляет собой сумму геометрической прогрессии:

   1000 + 100 * r + 10 * r^2 + r^3 = 1000 * (1 + r + r^2 + r^3)

7. Теперь можем переписать уравнение:

   A * (1000 * (1 + r + r^2 + r^3)) - 990 = E * 1000 + F * 100 + G * 10 + H

8. Разделим обе стороны на 1000:

   A * (1 + r + r^2 + r^3) - 0.99 = E + 0.1 * F + 0.01 * G + 0.001 * H

9. Мы знаем, что A, E, F, G и H - цифры, поэтому левая сторона уравнения является целым числом. Следовательно, и правая сторона должна быть целым числом.

10. Поскольку A - цифра, а (1 + r + r^2 + r^3) - целое число, то разность 0.99 также должна быть целым числом. Таким образом, возможны два варианта для A: 1 и 9.

11. Если A = 1, то (1 + r + r^2 + r^3) - 0.99 = 0.01, что невозможно, так как r - множитель геометрической прогрессии и должен быть положительным числом.

12. Если A = 9, то (9 + 9r + 9r^2 + 9r^3) - 0.99 = 8.01, что возможно. Это означает, что r = 1.

Теперь мы знаем, что A = 9 и r = 1. Мы можем легко вычислить B, C и D:

B = A * r = 9 * 1 = 9 C = A * r^2 = 9 * 1^2 = 9 D = A * r^3 = 9 * 1^3 = 9

Таким образом, четырехзначное число, удовлетворяющее всем условиям задачи, равно 9,999.

Проверим, что если вычесть из него 990, получится число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию:

9,999 - 990 = 9,009

Цифры числа 9,009 образуют арифметическую прогрессию (9, 0, 0, 9).

Итак, четырехзначное число, которое удовлетворяет условиям задачи, равно 9,999.