Question

Решить подробно неравенство -2x^2 +3x +9 <0

Answer 1

$-2x^{2}+3x+90$

Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим его на множители:

$2x^{2} -3x-9=0\\\\D=(-3)^{2}-4\cdot2\cdot (-9)=9+72=81=9^{2} \\\\x_{1} =\dfrac{3-9}{4}=-\dfrac{6}{4} =-1,5\\\\x_{2} =\dfrac{3+9}{4}=3\\\\2x^{2}-3x-9=2(x+1,5)(x-3)$

Решим неравенство методом интервалов :

$2(x+1,5)(x-3)>0\\\\(x+1,5)(x-3)>0$

    +              -             +

______₀______₀______

          - 1,5          3

//////////////            /////////////

Ответ : x ∈ ( - ∞ ; - 1,5) ∪ (3 ; + ∞)

Answer 2

Чтобы решить неравенство -2x^2 + 3x + 9 < 0 подробно, мы сначала найдем его корни, а затем определим интервалы, на которых оно выполняется. Мы будем использовать метод факторизации и метод интервалов.

1. Начнем с квадратного уравнения -2x^2 + 3x + 9 = 0. Для этого уравнения найдем дискриминант, чтобы определить, есть ли у него действительные корни:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac где a = -2, b = 3 и c = 9.

D = (3)^2 - 4(-2)(9) = 9 + 72 = 81

Дискриминант положителен (D > 0), что означает, что у уравнения есть два действительных корня.

2. Теперь найдем сами корни, используя квадратное уравнение:

x = (-b ± √D) / (2a) x = (-3 ± √81) / (2*(-2)) x = (-3 ± 9) / (-4)

Получаем два корня:

x₁ = (9 - 3) / (-4) = 1.5 x₂ = (-9 - 3) / (-4) = 3

3. Теперь у нас есть корни уравнения, которые равны 1.5 и 3. Эти корни разбивают весь диапазон чисел на три интервала:

I. x < 1.5 II. 1.5 < x < 3 III. x > 3

4. Теперь мы должны определить знак выражения -2x^2 + 3x + 9 на каждом из этих интервалов.

Для этого выберем тестовую точку внутри каждого интервала и подставим ее в исходное неравенство.

I. Проверим интервал x < 1.5, например, x = 0:

-2(0)^2 + 3(0) + 9 = 9 Так как 9 > 0, то неравенство выполняется на интервале x < 1.5.

II. Проверим интервал 1.5 < x < 3, например, x = 2:

-2(2)^2 + 3(2) + 9 = -8 + 6 + 9 = 7 Так как 7 > 0, то неравенство выполняется на интервале 1.5 < x < 3.

III. Проверим интервал x > 3, например, x = 4:

-2(4)^2 + 3(4) + 9 = -32 + 12 + 9 = -11 Так как -11 < 0, то неравенство не выполняется на интервале x > 3.

Итак, неравенство -2x^2 + 3x + 9 < 0 выполняется на интервалах x < 1.5 и 1.5 < x < 3.