Question

Решить показательные. уравнения 2(^2х-4)=64 4(^х) -2(^х+1) -24=0 4(^х-2(^х+1)-24=0 3(^х-6)=81 9(^х)-7*3(^х) -18=0 Решить иррациональные уравнения 1-корень 1+5х=х (^3) корень 8-х - (^3)х+1=3 Корень 2х +3=6-х Корень х+2 +корень 3x-2 =4

Answer 1

Решить показательные. Уравнения

2^(2х-4)=64, ((2^x)^2)/(2^4) = 2^6,

((2^x)^2) = 2^10,

2^x = 2^5,

x = 5.

4^х -2^(х+1) -24=0

4^х-2^(х+1)-24=0       Решено к заданию 45948179.

3^(х-6)=81, 3^х/3^6 = 3^4

3^x = 3^(10)

x = 10.

9^х - 7*3(^х) -18=0,  3^(2x) – 7*3^x – 18 = 0. Замена 3^x = a.

a^2 – 7a – 18 = 0.  D = 49 – 4*1*(-18) = 121.

a_1=(√121-(-7))/(2*1)=(11-(-7))/2=(11+7)/2=18/2=9;

a_2=(-√121-(-7))/(2*1)=(-11-(-7))/2=(-11+7)/2=-4/2=-2 (не принимаем - положительное число в любой степени не может быть отрицательным).

3^x = 9 =3^2,

x = 2.

Решить иррациональные уравнения

1-корень 1+5х=х

(^3) корень 8-х - (^3)х+1=3

Корень 2х +3=6-х                   Не понятны – надо выделить корни.

√(х+2) + √(3x-2) = 4, область определения: x >= -2, x >= 2/3.

√(х+2) = 4 - √(3x-2),  область определения: 3x - 2  <= 16, x <= 18/3

(√(х+2))^2 = (4 - √(3x-2))^2,

x + 2 = 16 – 8 *√(3x-2) + 3x - 2,

8√(3x-2) = 2x + 12,

4√(3x-2) = x + 6,

(4√(3x-2))^2 = (x + 6)^2,

16(3x-2) = x^2 + 12x + 36,

48x – 32 = x^2 + 12x + 36,

x^2 - 36x + 68 = 0,

D=(-36)^2-4*1*68=1296-4*68=1296-272=1024;

x_1=(√1024-(-36))/(2*1)=(32-(-36))/2=(32+36)/2=68/2=34 (не принимаем по ОДЗ);

x_2=(-√1024-(-36))/(2*1)=(-32-(-36))/2=(-32+36)/2=4/2=2.

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение поочередно:

Показательные уравнения:

1. $2^{2x - 4} = 64$

Для начала, мы можем заметить, что $64 = 2^6$. Таким образом, у нас есть:

$2^{2x - 4} = 2^6$

Теперь мы можем приравнять показатели степени:

$2x - 4 = 6$

Теперь решим это уравнение:

$2x = 6 + 4$ $2x = 10$ $x = 5$

2. $4^x - 2^{x + 1} - 24 = 0$

Мы видим, что $4 = 2^2$, поэтому:

$2^{2x} - 2^{x + 1} - 24 = 0$

Теперь объединим первые два члена с одинаковой базой:

$2^{2x - (x + 1)} - 24 = 0$

$2^{x - 1} - 24 = 0$

Теперь приведем это к степени 2:

$2^{x - 1} = 24$

Теперь перейдем к логарифмам:

$x - 1 = \log_2(24)$

$x - 1 = 4.585$

$x \approx 5.585$

3. $4^{x - 2^{x + 1}} - 24 = 0$

Это уравнение выглядит сложным, и его решение в виде точного числа может быть трудным. Однако, вы можете попробовать использовать численные методы для приближенного нахождения корня.

4. $3^{x - 6} = 81$

Сначала упростим правую сторону:

$3^{x - 6} = 3^4$

Теперь приравняем показатели степени:

$x - 6 = 4$

$x = 10$

5. $9^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0$

Мы видим, что $9 = 3^2$, поэтому:

$(3^2)^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0$

Теперь заменим $3^2$ на $3^{2x}$:

$3^{2x} - 7 \cdot 3^x - 18 = 0$

Теперь давайте введем замену, например, $u = 3^x$:

$u^2 - 7u - 18 = 0$

Это квадратное уравнение, которое можно решить. Факторизуем его:

$(u - 9)(u + 2) = 0$

Теперь решим для $u$:

1. $u - 9 = 0$, что дает $u = 9$.
2. $u + 2 = 0$, что дает $u = -2$.

Теперь вернемся к переменной $x$ с учетом $u = 3^x$:

1. $3^x = 9$: Возведем обе стороны в логарифм по основанию 3: $x = 2$.

2. $3^x = -2$: Это уравнение не имеет решений, так как степень любого положительного числа не может быть отрицательной.

Иррациональные уравнения:

1. $\sqrt{1 + 5x} = x^{\frac{1}{3}}$

Возводим обе стороны в степень 6, чтобы избавиться от иррациональных корней:

$1 + 5x = x^2$

Переносим все на одну сторону:

$x^2 - 5x - 1 = 0$

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта.

2. $\sqrt{8 - x} - \sqrt{x + 1} = 3$

Переносим один из корней на другую сторону:

$\sqrt{8 - x} = 3 + \sqrt{x + 1}$