Question

Докажите неравенство, если ab>0; 1)a/b+b/a>или =2; 2)(a+b)(1/a+1/b)>или =4​

Answer 1

Ответ: неравенства доказаны.

Объяснение:

1) так как a*b>0, то числа a и b должны иметь один знак. Но тогда число c=a/b будет положительным, т.е. c>0. Нам нужно доказать, что c+1/c≥2. Обозначим c+1/c=d. Это равенство можно переписать в виде: (c²+1)/c=d, или c²-d*c+1=(c-d/2)²-d²/4+1=0. Отсюда (c-d/2)²=d²/4-1, и так как (c-d/2)²≥0, то и d²/4-1≥0. Отсюда d≥2 либо d≤-2, но так как число d - положительное, то d≥2. Таким образом, c+1/c=a/b+b/a=d≥2 - неравенство доказано.

2) раскрывая скобки, получаем неравенство 1+a/b+b/a+1≥4, или a/b+b/a≥2. Но это неравенство уже доказано выше, а этим доказывается и данное неравенство.

Answer 2

Для начала, рассмотрим первое неравенство:

1. a/b + b/a >= 2

Для доказательства этого неравенства, мы можем воспользоваться неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для двух положительных чисел.

Неравенство между средним арифметическим (A) и средним геометрическим (G) двух чисел x и y выглядит следующим образом:

A >= G

Среднее арифметическое чисел x и y равно (x + y) / 2, а среднее геометрическое равно sqrt(x * y) (квадратный корень из произведения).

Теперь вернемся к нашему неравенству:

a/b + b/a >= 2

Среднее арифметическое чисел a/b и b/a равно (a/b + b/a) / 2. Среднее геометрическое этих чисел равно sqrt((a/b) * (b/a)) = sqrt(1) = 1, так как a/b и b/a взаимно обратны.

Итак, мы видим, что:

(a/b + b/a) / 2 >= 1

Умножим обе стороны на 2:

a/b + b/a >= 2

Таким образом, первое неравенство a/b + b/a >= 2 доказано.

Теперь перейдем ко второму неравенству:

2. (a+b)(1/a+1/b) >= 4

Для доказательства этого неравенства, умножим обе стороны на ab (поскольку ab > 0, мы можем умножать на него без изменения знака неравенства):

(a+b)(1/a+1/b) * ab >= 4ab

Раскроем скобки:

(a+b)(ab/a + ab/b) >= 4ab

Упростим выражение:

a(ab/a) + b(ab/b) >= 4ab

ab + ab >= 4ab

2ab >= 4ab

Теперь разделим обе стороны на 2ab (поскольку ab > 0, то 2ab > 0):

(2ab) / (2ab) >= (4ab) / (2ab)

1 >= 2

Так как 1 не больше 2, то мы видим, что второе неравенство (a+b)(1/a+1/b) >= 4 также доказано.

Таким образом, оба неравенства доказаны, при условии, что ab > 0.