Question

Решите неравенство f '(x)>0, если f(x)=2x³+6х²​

Answer 1

Ответ:

$(-\infty \ ; \ -2) \cup (2 \ ; \ +\infty)$

Объяснение:

$f(x)=2x^{3}+6x^{2};$

$f'(x)=(2x^{3}+6x^{2})'=(2x^{3})'+(6x^{2})'=2 \cdot (x^{3})'+6 \cdot (x^{2})'=2 \cdot 3 \cdot x^{3-1}+6 \cdot 2 \cdot x^{2-1}=$

$=6x^{2}+12x;$

$6x^{2}+12x>0;$

$x^{2}+2x>0;$

Найдём нули функции:

$x^{2}+2x=0;$

$x(x+2)=0;$

$x=0 \quad \vee \quad x+2=0;$

$x=0 \quad \vee \quad x=-2;$

Определим знаки неравенства на промежутках

$(-\infty \ ; \ -2) \ , \ (-2 \ ; \ 0) \ , \ (2 \ ; \ +\infty):$

$x=-3: \quad (-3)^{2}+2 \cdot (-3)=9-6=3>0;$

$x=-1: \quad (-1)^{2}+2 \cdot (-1)=1-2=-1$

$x=3: \quad 3^{2}+2 \cdot 3=9+6=15>0;$

Неравенство принимает положительные значения на промежутках

$(-\infty \ ; \ -2) \ , \ (2 \ ; \ +\infty) \ ,$

значит,

$x \in (-\infty \ ; \ -2) \cup (2 \ ; \ +\infty) \ ;$

Answer 2

Объяснение:

$>0\\f'(x)=(2x^3+6x^2)'=2*3*x^2+6*2*x>0\\6x^2+12x>0\\6*(x^2+2x)>0\ |:6\\x^2+2x>0\\x*(x+2)>0$

-∞__+__-2__-__0__+__+∞           ⇒

Ответ:x∈(-∞;-2)U(0;+∞).

Answer 3

Чтобы решить неравенство $f'(x) > 0$, где $f(x) = 2x^3 + 6x^2$, давайте найдем производную $f'(x)$ и определим, для каких значений $x$ она положительна.

Сначала найдем производную $f(x)$:

$f(x) = 2x^3 + 6x^2$

$f'(x) = \frac{d}{dx} (2x^3) + \frac{d}{dx} (6x^2)$

Используя правила дифференцирования, получим:

$f'(x) = 6x^2 + 12x$

Теперь мы имеем производную $f'(x) = 6x^2 + 12x$, и мы хотим найти значения $x$, для которых $f'(x) > 0$.

Для этого рассмотрим неравенство:

$6x^2 + 12x > 0$

Теперь факторизуем его:

$6x(x + 2) > 0$

Теперь мы видим, что неравенство выполняется, когда одновременно $6x > 0$ и $(x + 2) > 0$.

1. $6x > 0$ выполняется, когда $x > 0$.

2. $(x + 2) > 0$ выполняется, когда $x > -2$.

Таким образом, для неравенства $f'(x) > 0$ нужно, чтобы $x$ было больше нуля и больше -2. Итак, решение этого неравенства - это:

$x > 0 \quad \text{и} \quad x > -2$

Это можно упростить до $x > 0$, так как если $x$ больше нуля, то оно автоматически больше -2. Таким образом, решение неравенства $f'(x) > 0$ для функции $f(x) = 2x^3 + 6x^2$ - это $x > 0$.