Question

Меньший катет прямоугольного треугольника на 9 меньше, чем гипотенуза этого треугольника. Найди стороны треугольника, если его площадь равна 60 .

Answer 1

Нам дан прямоугольный треугольник. Вспомним, как можно найти его площадь:

S = 1/2 a*b, где a  и b -- катеты треугольника.

Также вспомним теорему Пифагора: C² = A² + B², где С -- гипотенуза, а А и В -- катеты.

Пусть А -- меньший катет, который равен х. Тогда гипотенуза будет равна (х + 9). Чтобы найти второй катет, выразим его из теоремы Пифагора:

В² = С² - А²

Теперь подставим значения:

В² = (x + 9)² - x²

Мы видим формулу разности квадратов, раскроем её:

В² = (x + 9 - x)(x + 9 + x) = 9(2x + 9)

Тогда В = 3√(2х + 9).

Подставим полученные выражения в формулу площади:

S = 1/2 * a * b = 1/2 * x * 3√(2x + 9);     S = 60 =>

60 = 1/2x * 3√(2x +9)

120 = 3x√(2x + 9)

x√(2x +9) = 40

Возведём всё в квадрат, чтобы избавиться от корня:

x² * (2x + 9) = 1600

Перемножим:

2x³ + 9x² - 1600 = 0

Чтобы разложить на множители представим 9х как (25х - 16х):

2x³ - 16x² + 25x² - 1600 = 0

Сгруппируем попарно и вынесем общий множитель из каждой пары:

(2x³ - 16x²) + (25x² - 1600) = 0

2x² (x - 8) + 25 (x² - 64) = 0

Разложим разность квадратов во второй скобке:

2x² (x - 8) + 25 (x - 8)(x + 8) = 0

Вынесем общий множитель (х - 8) за скобку:

(x - 8) (2x² + 25 (x + 8) = 0

Раскроем третью скобку:

(x - 8) (2x² + 25x + 200) = 0

x - 8 = 0 или 2x² + 25x + 200 = 0

Рассмотрим оба случая:

1. x - 8 = 0

x = 8

2. 2x² + 25x + 200 = 0

D = b² - 4ac = 625 - 4*400 = 625 - 1600.

Дискриминант отрицательный, значит в данном уравнении корней нет.

Итак меньший катет равен 8, тогда гипотенуза равна:

8 + 9 = 17

А второй катет, или катет В:

3√(2х + 9) = 3√(2*8 + 9) = 3√ (16 + 9) = 3√25 = 3*5 = 15.

Ответ: Меньший катет равен 8, гипотенуза равна 17, больший катет равен 15.

Answer 2

Давайте обозначим стороны прямоугольного треугольника следующим образом:

Пусть a - меньший катет, b - больший катет, и c - гипотенуза.

У нас есть два условия:

1. Меньший катет прямоугольного треугольника на 9 меньше, чем гипотенуза: a = c - 9.

2. Площадь треугольника равна 60: (1/2) * a * b = 60.

Теперь у нас есть два уравнения, и мы можем решить их систему.

Сначала выразим a из первого уравнения:

a = c - 9

Затем подставим это выражение во второе уравнение:

(1/2) * (c - 9) * b = 60

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

(c - 9) * b = 120

Теперь давайте рассмотрим возможные пары целых чисел (c, b), которые могут удовлетворить это уравнение и при этом обеспечить целочисленные значения для a и площади.

Один из способов это сделать - это:

c - 9 = 12 b = 10

Таким образом, мы получаем:

c = 12 + 9 = 21 b = 10 a = c - 9 = 21 - 9 = 12

Итак, стороны прямоугольного треугольника равны:

Меньший катет (a) = 12 Больший катет (b) = 10 Гипотенуза (c) = 21

Проверим площадь:

(1/2) * 12 * 10 = 60

Площадь равна 60, что соответствует условию задачи.