Question

Найди наибольшее и наименьшее значения функции x(t)=2t^5−7t+3, если 1≤t≤3.

Answer 1

смотрите фото..................

Answer 2

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $x(t) = 2t^5 - 7t + 3$ на интервале $1 \leq t \leq 3$, мы сначала найдем производную функции и определим ее нули, которые могут соответствовать экстремумам.

1. Найдем производную $x(t)$:

$x'(t) = 10t^4 - 7.$

2. Теперь найдем нули производной, решив уравнение $x'(t) = 0$:

$10t^4 - 7 = 0.$

3. Решим это уравнение:

$10t^4 = 7$ $t^4 = \frac{7}{10}$ $t = \sqrt[4]{\frac{7}{10}}$

Поскольку интервал задан как $1 \leq t \leq 3$, то рассматриваемый интервал $\sqrt[4]{\frac{7}{10}}$ должен лежать внутри этого интервала. Если это не так, то нашими кандидатами на экстремумы будут крайние точки интервала $t = 1$ и $t = 3$.

Теперь, чтобы найти значение функции в точках $t = 1$, $t = \sqrt[4]{\frac{7}{10}}$, $t = 3$, а затем определить, какое из них дает наименьшее и наибольшее значение функции:

1. $x(1) = 2(1)^5 - 7(1) + 3 = 2 - 7 + 3 = -2$.
2. $x\left(\sqrt[4]{\frac{7}{10}}\right)$ - найденная точка из производной.
3. $x(3) = 2(3)^5 - 7(3) + 3 = 486 - 21 + 3 = 468$.

Таким образом, наименьшее значение функции на заданном интервале равно -2 и достигается при $t = 1$, а наибольшее значение равно 468 и достигается при $t = 3$.