Question

Создать формулу для вычисления суммы 1^n+2^n+3^n+4^n+...+k^n если n = 1, 2, 3, 4, 5,...

Answer 1

Для разных n там получаются разные формулы

n=1, $S_1 = \frac{k\cdot (k+1)}{2}$

n=2, $S_2 = \frac{k\cdot (k+1)\cdot (2k+1)}{6}$

n=3, $S_3 = \frac{k^2\cdot (k+1)^2}{4}$

Для других значений n, тоже можно вывести свои формулы, подробнее смотри книжку И. П. Натансон "Суммирование бесконечно малых величин", самый первый параграф, там даётся общий подход.

Answer 2

Формула для вычисления суммы чисел вида 1^n + 2^n + 3^n + ... + k^n, где n - это натуральное число, может быть записана с использованием знака суммы (сигма) следующим образом:

S(n, k) = Σ(i^n), где i принимает значения от 1 до k.

Однако для различных значений n, формулы для вычисления S(n, k) будут разными. Вот формулы для некоторых конкретных значений n:

1. Если n = 1, то сумма будет просто суммой первых k натуральных чисел, и её можно выразить как: S(1, k) = 1 + 2 + 3 + ... + k = (k * (k + 1)) / 2

2. Если n = 2, то это известная формула суммы квадратов первых k натуральных чисел: S(2, k) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = (k * (k + 1) * (2k + 1)) / 6

3. Если n = 3, то это формула суммы кубов первых k натуральных чисел: S(3, k) = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 = [(k * (k + 1)) / 2]^2

4. Если n = 4, то это формула суммы четвёртых степеней первых k натуральных чисел: S(4, k) = 1^4 + 2^4 + 3^4 + ... + k^4 = (k * (k + 1) * (2k + 1) * (3k^2 + 3k - 1)) / 30

И так далее. Для каждого конкретного значения n существует своя формула для вычисления суммы чисел вида 1^n + 2^n + 3^n + ... + k^n.