Question

Доказать неравенство: а) 9х2+1 > 6х; б) (а + 3)(а +5) < (а + 4)2.

Answer 1

Ответ:

a)x=R. b)a=R

Объяснение:

а) 9x^2+1>6x

9x^2-6x+1>0

x=R

б) a^2+5a+3a+15<a^2+8a+16

a^2-a^2+8a-8a<16-15

0a=1

a=R

Answer 2

а) Для доказательства неравенства $9x^2 + 1 > 6x$, давайте начнем с того, что перенесем все члены на одну сторону неравенства:

$9x^2 + 1 - 6x > 0$

Теперь давайте попробуем упростить это выражение:

$9x^2 - 6x + 1 > 0$

Мы можем попробовать решить это неравенство с помощью дискриминанта. Дискриминант квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В данном случае $a = 9$, $b = -6$, и $c = 1$.

$D = (-6)^2 - 4(9)(1) = 36 - 36 = 0$

Дискриминант равен нулю. Это означает, что у нас есть один корень кратности 2. Теперь мы можем воспользоваться фактом о том, что для квадратного уравнения с нулевым дискриминантом существует один действительный корень, который равен $-\frac{b}{2a}$. В нашем случае:

$x = -\frac{(-6)}{2(9)} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

Теперь мы знаем, что у нас есть один корень, и мы можем провести тестирование интервалов. Давайте возьмем три интервала: $(-\infty, \frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3}, +\infty)$ и саму точку $\frac{1}{3}$.

1. Подставим $x = 0$ (значение меньше $\frac{1}{3}$):

$9(0)^2 - 6(0) + 1 > 0$ $1 > 0$

Условие выполняется.

2. Подставим $x = 1$ (значение больше $\frac{1}{3}$):

$9(1)^2 - 6(1) + 1 > 0$ $9 - 6 + 1 > 0$ $4 > 0$

Условие также выполняется.

3. Теперь рассмотрим точку $\frac{1}{3}$:

$9\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 6\left(\frac{1}{3}\right) + 1 > 0$ $\frac{9}{9} - \frac{6}{3} + 1 > 0$ $1 - 2 + 1 > 0$ $0 > 0$

Условие не выполняется для точки $\frac{1}{3}$.

Итак, у нас есть два интервала ($-\infty, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}, +\infty)$, в которых неравенство выполняется, а также точка $\frac{1}{3}$, в которой неравенство не выполняется. Поэтому неравенство $9x^2 + 1 > 6x$ выполняется для всех значений $x$ в интервалах $-\infty < x < \frac{1}{3}$ и $\frac{1}{3} < x < +\infty$.

б) Для доказательства неравенства $(a + 3)(a + 5) < (a + 4)^2$, начнем с раскрытия обеих сторон неравенства:

$(a + 3)(a + 5) < (a + 4)^2$