Question

Скорость движения тела задана уравнением v=4t-2/t^2 (м/с). Найти путь

Answer 1

Ответ:

$2t^{2}+\dfrac{2}{t}+C, \ C-const$

Объяснение:

$\displaystyle v(t)=s'(t) \Rightarrow s(t)=\int\ v(t)dt+C, \ C-const ;$

$\displaystyle s(t)=\int\ \bigg (4t-\dfrac{2}{t^{2}} \bigg )dt=\int\ 4tdt-\int\ 2t^{-2}dt=4\int\ tdt-2\int\ t^{-2}dt=$

$=4 \cdot \dfrac{t^{1+1}}{1+1}-2 \cdot \dfrac{t^{-2+1}}{-2+1}+C=4 \cdot \dfrac{t^{2}}{2}-2 \cdot \dfrac{t^{-1}}{-1}+C=2t^{2}+\dfrac{2}{t}+C, \ C-const;$

Answer 2

Для нахождения пути, пройденного телом, при заданной функции скорости, нам нужно интегрировать это уравнение от начального момента времени (t_1) до конечного момента времени (t_2). Путь (S) можно найти следующим образом:

S = ∫(v(t) dt) от t_1 до t_2

В данном случае, у нас есть уравнение для скорости v(t) = 4t - 2/t^2.

Теперь найдем путь, проходящий от t_1 до t_2:

S = ∫(4t - 2/t^2) dt от t_1 до t_2

Для вычисления этого интеграла, сначала найдем его неопределенный интеграл:

∫(4t - 2/t^2) dt = 2t^2 + 2/t + C

Теперь, чтобы найти путь S от t_1 до t_2, вычислим разность:

S = [2t^2 + 2/t] от t_1 до t_2 S = [2t_2^2 + 2/t_2] - [2t_1^2 + 2/t_1]

Таким образом, путь S между моментами времени t_1 и t_2 равен:

S = 2t_2^2 + 2/t_2 - (2t_1^2 + 2/t_1)

Это будет ответ, выраженный в метрах, при условии, что t_1 и t_2 заданы в секундах.