Question

Найдите площадь фигуры ограниченной графиком функции f(x)=-x^2-x+2 и осью абсцисс, изобразив рисунок

Answer 1

Ответ:

4,5 рисунок см. файл

Объяснение:

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры ограниченной графиком функции $f(x) = -x^2 - x + 2$ и осью абсцисс, нужно найти точки пересечения графика с осью абсцисс и затем вычислить определенный интеграл этой функции в пределах этих точек.

Сначала найдем точки пересечения:

$-x^2 - x + 2 = 0$

Используем квадратное уравнение для нахождения корней:

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x = -2$ и $x = 1$.

Теперь построим график функции:

luaCopy code
  ^
  |
2 |-+------+-----------+
  |        +           +
1 |-+      +           +
  |        +           +
0 |-+      +           +
  |        +           +
  +------+---+-------+--->
        -2   0       1

График функции $f(x) = -x^2 - x + 2$ выглядит примерно так. Теперь мы видим, что фигура ограничена осью абсцисс и графиком функции между $x = -2$ и $x = 1$.

Теперь вычислим определенный интеграл функции $f(x) = -x^2 - x + 2$ в пределах от $-2$ до $1$ для нахождения площади под графиком:

$$\text{Площадь} = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \,dx$$

$$= \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1}$$

$$= \left[ -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \left( -\frac{8}{3} - 2 + 4 \right) \right]$$

$$= \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 + \frac{8}{3} - 2 + 4$$

$$= \frac{1}{3} + \frac{8}{6} + 2 - 2 + 4$$

$$= \frac{1}{3} + \frac{4}{3} + 2$$

$$= \frac{5}{3} + 2$$

$$= \frac{11}{3} \approx 3.67$$

Итак, площадь фигуры ограниченной графиком функции $f(x) = -x^2 - x + 2$ и осью абсцисс равна приблизительно $3.67$ квадратных единиц.