Question

Побудуйте графік функції у=xквадрат -4x-5 Знайти користуючись графіком: 1) Найменше значення функції 2)множину розв'язків нерівності x квадрат-4x-5>0 3) проміжок , на якому функція у=xквадрат -4x-5 зростає

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

фото

Answer 2

Для побудови графіка функції $y = x^2 - 4x - 5$, спочатку ми визначимо його характеристики.

Форма квадратичної функції $y = ax^2 + bx + c$ залежить від параметра $a$. Якщо $a > 0$, то графік відкритий вгору (парабола звернута догори), а якщо $a < 0$, то графік відкритий донизу (парабола звернута донизу).

У даному випадку, $a = 1$, отже, графік буде відкритий вгору.

Далі, щоб знайти найменше значення функції, потрібно знайти вершину параболи. Вершина $x$-координата може бути знайдена за формулою $-\frac{b}{2a}$, а $y$-координата - підставивши це значення назад в функцію.

$x_{\text{вершина}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2$

$y_{\text{вершина}} = f(2) = 2^2 - 4(2) - 5 = -5$

Отже, найменше значення функції -5 і досягається при $x = 2$.

Тепер давайте знайдемо множину розв'язків нерівності $x^2 - 4x - 5 > 0$. Для цього потрібно аналізувати знаки функції у різних інтервалах.

Знайдемо нулі функції $x^2 - 4x - 5 = 0$ за допомогою квадратного кореня:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}$

Отримаємо два корені $x_1 = -1$ та $x_2 = 5$.

Тепер, розглядаючи знак функції на інтервалах, можна побудувати таблицю:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 2) & 2 & (2, \infty) \\ \hline x^2 - 4x - 5 & + & - & 0 & + & - & + \\ \hline \end{array}$$

Де "+" означає, що функція додатня, "-" - функція від'ємна, "0" - функція дорівнює нулю.

Таким чином, множина розв'язків нерівності $x^2 - 4x - 5 > 0$ - це інтервали, де функція приймає значення більше нуля: $(-1, 2) \cup (2, \infty)$.

Нарешті, щоб знайти проміжок, на якому функція $y = x^2 - 4x - 5$ зростає, треба врахувати, що у нас відкрита вгору парабола. Таким чином, функція зростає на проміжках, де $x$ знаходиться лівіше від вершини параболи та правіше від неї. З вершини параболи, яка має $x$-координату $x = 2$, функція починає зменшуватися.

Отже, функція зростає на інтервалі $(-\infty, 2)$.