Question

Производная) Доказать, что если дифференцируемая на R функция y = f (x) является четной, то ее производная является нечетной функцией. Подробно пожалуйста.

Answer 1

Функция чётна, если $f(-x)=f(x)$, и нечётна, если $f(-x)=-f(x).$

Пусть функция f(x) чётна:

$f(-x)=f(x)$

Продифференцируем обе части этого уравнения (левую часть по правилу производной сложной функции):

$f'(-x) \cdot (-x)'=f'(x)\\f'(-x) \cdot (-1)=f'(x)\\-f'(-x)=f'(x)\\f'(-x)=-f'(x)$

Из последнего равенства следует, что производная $f'(x)$ является нечётной функцией, что и требовалось доказать.

***

Если будут какие-нибудь вопросы — задавайте.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения мы начнем с определений функций, четных и нечетных функций, а затем воспользуемся свойствами дифференцируемости и производных.

1. Четная функция: Функция f(x) называется четной, если для любого x из её области определения выполняется следующее равенство: f(-x) = f(x)

2. Нечетная функция: Функция f(x) называется нечетной, если для любого x из её области определения выполняется следующее равенство: f(-x) = -f(x)

Теперь давайте рассмотрим дифференцируемую на всей числовой прямой функцию y = f(x), которая является четной. Нам нужно показать, что её производная f'(x) является нечетной функцией.

Для этого давайте возьмем производную f'(x) и рассмотрим её значение в точке -x:

f'(-x)

Теперь воспользуемся определением производной:

f'(-x) = lim(h->0) [f(-x + h) - f(-x)] / h

Сначала заметим, что внутри выражения f(-x + h) мы можем заменить -x + h на -(x - h), так как f(x) - четная функция:

f'(-x) = lim(h->0) [f(-(x - h)) - f(-x)] / h

Теперь воспользуемся свойством четной функции (f(-x) = f(x)):

f'(-x) = lim(h->0) [f(x - h) - f(x)] / h

Теперь давайте используем свойство нечетной функции (f(-x) = -f(x)):

f'(-x) = lim(h->0) [-f(x - h) + f(x)] / h

Изменим порядок слагаемых в числителе:

f'(-x) = -lim(h->0) [f(x - h) - f(x)] / h

Таким образом, мы получили, что f'(-x) = -f'(x). Это означает, что производная f'(x) удовлетворяет определению нечетной функции (f'(-x) = -f'(x)), и, следовательно, производная функции y = f(x) является нечетной функцией.

Таким образом, мы доказали, что если функция y = f(x) дифференцируема на всей числовой прямой и является четной, то её производная f'(x) является нечетной функцией.