Question

Знайти найбільше та найменше значення функції f(x)=x^3-2x|x-2| на проміжку [0;3].

Answer 1

Ответ:

f(x) max  = 21

$\sf f(x) min = - 1 \dfrac{13}{27}$

Объяснение:

Рассмотрим промежуток [ 0 ;  2]
В данном промежутке модуль раскроется с минусом

$f(x) = x^3 - 2x|x-2| = x^3 - 2x \cdot \Big(-(x-2)\Big) = x^3 + 2x^2 -4x$

Найдем производную

$f'(x) = (x^3 + 2x^2 -4x)' = 3x^2 + 4x - 4$

Найдем критические точки

$3x^2 + 4x - 4 = 0 \\\\ D = 16 + 48 = 64 \\\\ x_ 1 = \cfrac{-4 + 8}{6} = \cfrac{2}{3} \\\\ x_2 =\cfrac{-4-8}{6}= -2$

Только первая точка принадлежит промежутку [ 0 ;  2]

Находим значение нашей функции на концах отрезка  [ 0 ; 2] и критической точке

$\displaystyle f(0) = 0^3 -2\cdot 0 |0 - 2| = 0 \\\\ f\bigg(\dfrac{2}{3} \bigg) = \bigg (\dfrac{2}{3}\bigg )^3 - 2\cdot \frac{2}{3}\cdot \bigg|\frac{2}{3}-2 \bigg| = \frac{8}{27}- \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{3} = \frac{8-48 }{27 } = -1\frac{13}{27} \\\\\\ f(2) = 8 - 2\cdot 2 \cdot |2-2| = 8$

Рассмотрим промежуток  [2 ; 3] , тогда модуль раскроется с плюсом

$f(x) = x^3 - 2x|x-2| = x^3 - 2x \cdot (x-2) =x^3 - 2x^2 + 4x$

$f'(x)= (x^3 - 2x^2 +4x)' = 3x^2 -4x + 4 \\\\\ 3x^2 - 4x + 4 = 0\\\\ D = 16 - 48 < 0$

⇒  в данном случае функция не имеет критических точек ,  найдем значение функции при  конце отрезка который равен 3

$f(3) = 3^3 - 2\cdot 3 \cdot |3-2| = 27 - 6 = 21$

Тогда :

$f(3) > f(2) > f(0) > f(2/3)$  ⇒

f(x) max  = 21

$f(x) min = - 1 \dfrac{13}{27}$

Answer 2

Для знаходження найбільшого та найменшого значення функції $f(x) = x^3 - 2x |x - 2|$ на проміжку $[0;3]$, спершу розглянемо функцію $|x - 2|$.

$f(x) = |x - 2|$ рівна $x - 2$, якщо $x \geq 2$, і $-x + 2$, якщо $x < 2$. Тобто, ця функція різко змінюється у точці $x = 2$.

Тепер ми можемо розглянути два підпроміжки проміжку $[0;3]$: $[0;2]$ і $[2;3]$.

1. Для $x$ у проміжку $[0;2]$: $f(x) = x^3 - 2x |x - 2| = x^3 - 2x(2 - x) = x^3 - 4x + 2x^2$.

2. Для $x$ у проміжку $[2;3]$: $f(x) = x^3 - 2x |x - 2| = x^3 - 2x(x - 2) = x^3 - 2x^2 + 4x$.

Тепер знайдемо похідні обох функцій і визначимо їхні точки екстремуму.

1. Для $f(x) = x^3 - 4x + 2x^2$ у проміжку $[0;2]$: $f'(x) = 3x^2 - 4 + 4x$.

   Щоб знайти точки екстремуму, розв'яжемо рівняння $f'(x) = 0$: $3x^2 - 4 + 4x = 0$.

   Знайдемо корені цього рівняння, які лежать у проміжку $[0;2]$: $x^2 + 4x - 4 = 0$.

   Застосуємо квадратне рівняння: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}.$

   Оскільки $x$ повинно лежати у проміжку $[0;2]$, то ми беремо тільки корінь $x = -2 + 2\sqrt{2}$.

2. Для $f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x$ у проміжку $[2;3]$: $f'(x) = 3x^2 - 4x + 4$.

   Розв'яжемо рівняння $f'(x) = 0$: $3x^2 - 4x + 4 = 0$.

   Це квадратне рівняння не має дійсних коренів, оскільки дискримінант менше нуля.

Тепер обчислимо значення функції $f(x)$ в цих точках:

1. Для $x = -2 + 2\sqrt{2}$: $f(-2 + 2\sqrt{2}) = (-2 + 2\sqrt{2})^3 - 4(-2 + 2\sqrt{2}) + 2(-2 + 2\sqrt{2})^2 \approx 3.3137$