Question

Помогите пожалуйста. Нужно найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла,заданной линиями y=x , y=1/x, x=4

Answer 1

Відповідь:      S = 1/2 + ln4 .

Пояснення:

Будуємо графіки  у = х  ( пряма ) , х = 4 ( пряма ) , у = 1/х ( гіпербола ).

 Площа фігури складається із 2- х частин : межі інтегрування

 0  і  1  ;  1  і  4 .

  S = S₁ + S₂ = ∫₀¹xdx  +  ∫₁⁴dx/x  = x²/2│₀¹  +  ln | x |│₁⁴  =  1/2 ( 1² - 0² ) +

      + ( ln | 4 | - ln | 1 | ) = 1/2 + ln4 ;   S = 1/2 + ln4 .

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций y = x, y = 1/x и вертикальной линией x = 4, вы можете воспользоваться определенным интегралом. Площадь этой фигуры будет равна разности интегралов данных функций на интервале от x = 1 до x = 4, так как y = 1/x стоит ниже y = x на этом интервале.

Итак, для нахождения площади фигуры, вам нужно вычислить следующий определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{4} (x - \frac{1}{x}) \, dx$

Теперь найдем этот интеграл:

$S = \int_{1}^{4} x \, dx - \int_{1}^{4} \frac{1}{x} \, dx$

Вычислим каждый из интегралов по отдельности:

$S = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{4} - \left[\ln|x|\right]_{1}^{4}$

Теперь подставим верхние и нижние пределы интегрирования и вычислим площадь:

$S = \left(\frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2}\right) - \left(\ln|4| - \ln|1|\right)$

$S = \left(8 - \frac{1}{2}\right) - (\ln(4) - \ln(1))$

$S = 7 - \ln(4)$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x, y = 1/x и вертикальной линией x = 4, равна $7 - \ln(4)$ квадратных единиц (квадратных у.е.) или приближенно около 4.61 квадратных у.е.