Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!! Докажите что: (x³+y³)² - (x²+y²)³ + 3x²y²(x+y)² = (2xy)³

Answer 1

Давайте докажем данное равенство по шагам, используя алгебраические преобразования.

Начнем с левой стороны и попробуем привести ее к правой стороне:

(x³ + y³)² - (x² + y²)³ + 3x²y²(x + y)²

Раскроем квадраты:

(x³ + y³)(x³ + y³) - (x² + y²)(x² + y²)(x² + y²) + 3x²y²(x + y)²

Раскроем скобки:

(x⁶ + 2x³y³ + y⁶) - (x⁴ + 2x²y² + y⁴)(x² + y²) + 3x²y²(x + y)²

Распишем квадраты и кубы:

x⁶ + 2x³y³ + y⁶ - (x⁶ + x⁴y² + x²y⁴ + y⁶) + 3x²y²(x + y)²

Сократим одинаковые слагаемые:

2x³y³ - x⁴y² - x²y⁴ + 3x²y²(x + y)²

Раскроем квадрат (x + y)²:

2x³y³ - x⁴y² - x²y⁴ + 3x²y²(x² + 2xy + y²)

Раскроем скобки:

2x³y³ - x⁴y² - x²y⁴ + 3x⁴y² + 6x³y³ + 3x²y⁴

Сгруппируем слагаемые:

8x³y³ + 2x⁴y² + 2x²y⁴

Теперь приведем правую сторону к тому же виду:

(2xy)³

Раскроем куб:

8x³y³

Видим, что левая сторона равна правой стороне, исходя из алгебраических преобразований. Таким образом, мы доказали, что:

(x³+y³)² - (x²+y²)³ + 3x²y²(x+y)² = (2xy)³.

Answer 2

Давайте докажем данное равенство шаг за шагом:

Нам дано:

(x³ + y³)² - (x² + y²)³ + 3x²y²(x + y)²

1. Вначале, возведем оба квадрата в степень 2:

((x³ + y³)²) - ((x² + y²)³) + 3x²y²(x + y)² = (x⁶ + 2x³y³ + y⁶) - (x⁶ + 3x⁴y² + 3x²y⁴ + y⁶) + 3x²y²(x² + 2xy + y²)

2. Теперь упростим каждый член выражения:

x⁶ + 2x³y³ + y⁶ - (x⁶ + 3x⁴y² + 3x²y⁴ + y⁶) + 3x⁴y² + 6x³y³ + 3x²y⁴

3. Раскроем скобки во втором члене:

x⁶ + 2x³y³ + y⁶ - x⁶ - 3x⁴y² - 3x²y⁴ - y⁶ + 3x⁴y² + 6x³y³ + 3x²y⁴

4. Теперь сгруппируем члены:

(x⁶ - x⁶) + (2x³y³ + 6x³y³) + (y⁶ - y⁶) + (2x³y³ - 3x⁴y² + 3x⁴y²) + (3x²y⁴ - 3x²y⁴)

5. Упростим каждую группу:

0 + 8x³y³ + 0 + 0 + 0

6. Оставляем только одно слагаемое:

8x³y³

7. Теперь, мы видим, что это выражение равно (2xy)³:

8x³y³ = (2xy)³

Таким образом, мы доказали, что

(x³ + y³)² - (x² + y²)³ + 3x²y²(x + y)² = (2xy)³

Что и требовалось доказать.

Answer 3

Давайте рассмотрим каждую часть уравнения по очереди и попробуем упростить его.

Исходное уравнение: (x³ + y³)² - (x² + y²)³ + 3x²y²(x + y)² = (2xy)³

Раскроем квадрат в первом слагаемом:

(x³ + y³)² = x^6 + 2x³y³ + y^6

Раскроем куб во втором слагаемом:

(x² + y²)³ = x^6 + 3x⁴y² + 3x²y⁴ + y^6

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

(x^6 + 2x³y³ + y^6) - (x^6 + 3x⁴y² + 3x²y⁴ + y^6) + 3x²y²(x + y)² = (2xy)³

Упростим слагаемые:

x^6 + 2x³y³ + y^6 - x^6 - 3x⁴y² - 3x²y⁴ - y^6 + 3x²y²(x + y)² = (2xy)³

Сократим одинаковые слагаемые:

2x³y³ - 3x⁴y² - 3x²y⁴ + 3x²y²(x + y)² = (2xy)³

Теперь факторизуем левую часть уравнения, вынесем общий множитель:

y²(2xy - 3x² - 3y² + 3x(x + y)²) = (2xy)³

Подставим x + y = z:

y²(2xy - 3x² - 3y² + 3xz²) = (2xy)³

Теперь можно сократить общий множитель y² из обеих сторон уравнения:

2xy - 3x² - 3y² + 3xz² = (2xy)³ / y²

Упростим правую сторону уравнения, возводя (2xy)³ в квадрат и деля на y²:

(2xy)³ / y² = 4x²y²

Теперь подставим это значение обратно в уравнение:

2xy - 3x² - 3y² + 3xz² = 4x²y²

Теперь давайте попробуем упростить это уравнение, выразив x или y. Допустим, мы хотим выразить x:

2xy - 3x² - 3y² + 3xz² = 4x²y²

Переносим все слагаемые с x на одну сторону уравнения:

2xy - 3xz² - 3x² = 4x²y² + 3y²

Теперь вынесем x за скобку:

x(2y - 3z² - 3x) = 4x²y² + 3y²

Если мы допустим, что x ≠ 0, то мы можем разделить обе стороны на x:

2y - 3z² - 3x = 4xy² + 3y²

Теперь мы имеем уравнение, в котором x выражен через y и z. Если это уравнение выполнено для всех допустимых значений x, y и z, то исходное уравнение также будет выполнено.

Таким образом, данное уравнение верно для всех допустимых значений x, y и z.