Question

Найдите значение параметра а, при которых неравенство a * x ^ 2 + (a - 1) * x + a - 1 < 0 не имеет решений

Answer 1

$ax^2+(a-1)x+a-1 < 0$

Отдельно проверим случай a=0

$-x-1 < 0$ конечно же имеет решение x>-1 и этот случай нам не подходит

При остальных a это квадратичное неравенство не будет иметь решений, если, условно говоря, вся парабола лежит не ниже оси Ox. То есть ветви должны быть вверх (a>0) а дискриминант должен быть неположительным

$D = (a-1)^2-4a(a-1) = -(a-1)(1+3a)$

Методом интервалов легко сообразить, что дискриминант неположителен при $a\geq1$ или $a \leq -1/3$, но второй случай нам не подходит, так как a должно быть положительным

Ответ: неравенство не имеет решений при $a\geq1$

Answer 2

Чтобы неравенство $a \cdot x^2 + (a - 1) \cdot x + (a - 1) < 0$ не имело решений, дискриминант квадратного уравнения $a \cdot x^2 + (a - 1) \cdot x + (a - 1) = 0$ должен быть отрицательным, так как дискриминант определяет, сколько решений имеет квадратное уравнение.

Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac$

В данном случае у нас есть $a = a$, $b = a - 1$, и $c = a - 1$. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

$D = (a - 1)^2 - 4 \cdot a \cdot (a - 1)$

Раскроем скобки:

$D = a^2 - 2a + 1 - 4a^2 + 4a$

Упростим выражение:

$D = -3a^2 + 2a + 1$

Теперь, чтобы неравенство $a \cdot x^2 + (a - 1) \cdot x + (a - 1) < 0$ не имело решений, дискриминант $D$ должен быть отрицательным:

$-3a^2 + 2a + 1 < 0$

Это неравенство является квадратным по параметру $a$. Чтобы найти значения $a$, при которых оно выполнено, можно воспользоваться методами анализа функций, графиками или численными методами. Давайте попробуем найти корни этого неравенства численно.

Уравнение $-3a^2 + 2a + 1 = 0$ можно решить с использованием квадратного уравнения или методов численного анализа. Оно имеет два корня:

$a_1 \approx -0.3333 \text{ и } a_2 \approx 1$

Теперь мы знаем, что $a$ должно лежать в интервале между этими двумя корнями, чтобы неравенство $a \cdot x^2 + (a - 1) \cdot x + (a - 1) < 0$ не имело решений:

$-0.3333 < a < 1$

Таким образом, значение параметра $a$, при котором неравенство не имеет решений, лежит в интервале от -0.3333 до 1.