Question

Натуральные числа x и y таковы, что 12х и 18у являются точными квадратами. Чему равно наименьшее значение суммы х+у ? а) 2 б) 5 в) 7 г) 13 д) 30

Answer 1

Если x=3, а y=2, то 12x и 18y, будут равны по 36. Тогда ответ б, то есть 5. Проверим не может ли сумма  быть равна двум, тогда и x, и y равны 1 (так как они натуральные), но 12 и 18 не являются точными квадратами. Тогда ответ точно б.

Answer 2

По моим рассуждениям тоже получается ответ б

Answer 3

Давайте рассмотрим условие задачи. У нас есть натуральные числа $x$ и $y$, такие что $12x$ и $18y$ являются точными квадратами.

Разложим 12 и 18 на простые множители:

$12 = 2^2 \cdot 3$ $18 = 2 \cdot 3^2$

Теперь у нас есть следующая информация:

$12x = (2^2 \cdot 3) \cdot x = a^2$ $18y = (2 \cdot 3^2) \cdot y = b^2$

Так как $a^2$ и $b^2$ являются точными квадратами, то $x$ и $y$ должны быть такими, что все степени простых множителей в разложении $a$ и $b$ четны. Таким образом, мы можем записать:

$x = 2^p \cdot 3^q$ $y = 2^r \cdot 3^s$

где $p$, $q$, $r$, $s$ - неотрицательные целые числа.

Теперь, учитывая это, мы можем записать:

$12x = (2^2 \cdot 3) \cdot (2^p \cdot 3^q) = 2^{2+p} \cdot 3^{1+q}$ $18y = (2 \cdot 3^2) \cdot (2^r \cdot 3^s) = 2^{1+r} \cdot 3^{2+s}$

Теперь мы хотим, чтобы оба эти выражения были квадратами. Поскольку $2^{2+p}$ и $2^{1+r}$ являются квадратами, $p$ и $r$ должны быть нечетными, чтобы их степени стали четными.

Аналогично, $3^{1+q}$ и $3^{2+s}$ являются квадратами, поэтому $q$ и $s$ также должны быть нечетными.

Таким образом, мы можем записать:

$x = 2^p \cdot 3^q = 2^p \cdot 3^{2k+1}$ $y = 2^r \cdot 3^s = 2^{2m+1} \cdot 3^s$

где $p, r, q, s, k, m$ - нечетные неотрицательные целые числа.

Теперь наша сумма $x + y$ будет:

$x + y = 2^p \cdot 3^{2k+1} + 2^{2m+1} \cdot 3^s$

Так как мы ищем наименьшее значение суммы, давайте рассмотрим минимальные значения для $p, m, q, s, k$.

• Пусть $p = m = q = s = k = 1$.

Тогда:

$x + y = 2^1 \cdot 3^3 + 2^3 \cdot 3^1 = 54$

Таким образом, наименьшее значение суммы $x + y$ - 54.

Ответ: $x + y = 54$.