Question

1)В треугольнике АВС: АВ=7 АС=12 угол ВАС=135 градусов Найти площадь треугольника АВС.   2) В треугольнике АВС: угол А=45 градусов угол С=15 градусов ВС=4√6 . Найти АС

Answer 1

1) S = половина произведения сторон на синус угла между ними, т.е.:

S = 1/2*7*12*sin135 = 35*sin(180-45) = 35sin45 = 35*$\sqrt{2}$/2 = 17.5$\sqrt{2}$

 

2) сумма углов в треугольнике = 180

значит угол B = 180 - угол А - угол С = 180 - 45 - 15 = 120

По теореме синусов:

BC/sinA = AC/sinB

AC = BC*sinB/sinA = 4√6*sin120/sin45 = 4√6*sin(180-60)/(√2/2) = 

= 8√6*sin60/√2 = 8*√2*√3*(1/2)/√2 = 4√3

Answer 2

1. Для нахождения площади треугольника $ABC$ используем формулу для площади треугольника по двум сторонам и углу между ними:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC)$

Здесь $AB = 7$, $AC = 12$ и $\angle BAC = 135^\circ$. Обратите внимание, что угол в радианах равен $\frac{\pi}{180}$ раз угол в градусах, поэтому $\sin(135^\circ) = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь можем подставить значения и рассчитать площадь:

$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 42 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 21\sqrt{2}$

Ответ: Площадь треугольника $ABC$ равна $21\sqrt{2}$ квадратных единиц.

2. Используем закон синусов для нахождения стороны $AC$ треугольника $ABC$:

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C}{c}$

Здесь $A = 45^\circ$, $C = 15^\circ$ и $BC = 4\sqrt{6}$.

Подставляем значения и находим $AC$:

$\frac{\sin 45^\circ}{AC} = \frac{\sin 15^\circ}{4\sqrt{6}}$

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{AC} = \frac{\frac{1}{2}}{4\sqrt{6}}$

Упрощаем:

$\frac{\sqrt{2}}{2AC} = \frac{1}{8\sqrt{6}}$

Домножаем обе стороны на $2AC$:

$AC = \frac{2\sqrt{2}}{8\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{24}\sqrt{6} = \frac{\sqrt{12}}{24} = \frac{\sqrt{3}}{4}$