Question

составьте уравнение касательных к графику функции y=x^4-2x^2-3 в точках его пересечения с осью абсцисс. найдите координаты пересечения этих касательных

Answer 1

Y ' = 4X^3 - 4X 

Y'' = 12X^2 - 4

/////////////////////////////////////

12X^2  = 4

X^2 = 4/12

X = 2 V 1\12  ( V - корень)

..............................................

Y = X^4 - 2X^2 - 3

Y = (2 V 1/12) ^4 - 2 * (2 V 1/12) ^ 2 - 3 = 16\144 - 4\6 - 3 = 1\9 - 2\3 - 3 = - 5\9 - 3 = - 3 5\9

/////////////////////////////////////////////////////////////////////

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Для нахождения уравнения касательных к графику функции y = x^4 - 2x^2 - 3 в точках его пересечения с осью абсцисс, нужно сначала найти эти точки пересечения. Точки пересечения графика функции с осью абсцисс имеют координаты (x, 0), поскольку на оси абсцисс значение y всегда равно 0.

Для нахождения этих точек пересечения, мы можем решить уравнение:

x^4 - 2x^2 - 3 = 0

Давайте решим это уравнение:

1. Заметим, что это квадратное уравнение относительно x^2. Давайте сделаем замену, чтобы упростить его:

   Пусть u = x^2. Тогда уравнение примет вид:

   u^2 - 2u - 3 = 0

2. Решим получившееся квадратное уравнение для u:

   u^2 - 2u - 3 = 0

   (u - 3)(u + 1) = 0

   u1 = 3 и u2 = -1

3. Теперь вернемся к исходной переменной x:

   Для u1 = 3: x^2 = 3 => x = ±√3 Для u2 = -1: x^2 = -1 => нет реальных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Итак, у нас есть две точки пересечения с осью абсцисс: (√3, 0) и (-√3, 0).

Теперь давайте найдем уравнение касательной в каждой из этих точек. Касательная к графику функции в точке (a, 0) имеет вид y = f'(a)(x - a), где f'(a) - производная функции в точке a.

Найдем производную функции y = x^4 - 2x^2 - 3:

y' = 4x^3 - 4x

Теперь подставим значения a = √3 и a = -√3:

1. Для a = √3:

   f'(√3) = 4(√3)^3 - 4√3 = 12√3 - 4√3 = 8√3

   Уравнение касательной:

   y1 = 8√3(x - √3)

2. Для a = -√3:

   f'(-√3) = 4(-√3)^3 - 4(-√3) = -12√3 - 4√3 = -16√3

   Уравнение касательной:

   y2 = -16√3(x + √3)

Итак, уравнения касательных к графику функции в точках пересечения с осью абсцисс (√3, 0) и (-√3, 0) следующие:

1. y1 = 8√3(x - √3)
2. y2 = -16√3(x + √3)

Вы также можете упростить уравнения, если потребуется.