Question

Разложите многочлен 8х^4+8x^3-x-1 на множители

Answer 1

8х^4+8x^3-x-1=8x^3(x+1)-1(x+1)=(8x^3-1)(x+1)=(2x-1)(4x^2+2x+1)(x+1)

Answer 2

Для разложения многочлена на множители вам пригодится использовать теорему о рациональных корнях (или теорему о целых корнях). Эта теорема гласит, что если многочлен имеет рациональный корень p/q, то p является делителем свободного члена (в данном случае -1), а q является делителем старшего коэффициента (в данном случае 8).

Таким образом, мы ищем рациональные корни этого многочлена, проверяя делители числа 8 и -1. Попробуем начать с делителей числа 8:

1. p/q = 1/1 = 1
2. p/q = -1/1 = -1
3. p/q = 2/1 = 2
4. p/q = -2/1 = -2
5. p/q = 4/1 = 4
6. p/q = -4/1 = -4
7. p/q = 8/1 = 8
8. p/q = -8/1 = -8

Теперь проверим делители числа -1:

9. p/q = 1/-1 = -1
10. p/q = -1/-1 = 1

Мы нашли несколько рациональных корней: 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8, -1 и 1.

Теперь используем синтетическое деление или деление полиномов, чтобы разложить многочлен на множители. Давайте начнем с корня x = 1:

1. Сначала применим синтетическое деление с x = 1:

markdownCopy code
1 | 8   8   0  -1  -1
   |___________
       8  16  16  15

Результат: 8x^3 + 16x^2 + 16x + 15.

2. Теперь мы можем разложить полученный многочлен дальше. Попробуем корень x = 1 снова:

markdownCopy code
1 | 8   16  16  15
   |____________
       8   24  40

Результат: 8x^2 + 24x + 40.

3. Снова используем x = 1:

markdownCopy code
1 | 8   24  40
   |_________
       8   32

Результат: 8x + 32.

Теперь мы разложили многочлен 8x^4 + 8x^3 - x - 1 на множители:

8x^4 + 8x^3 - x - 1 = (x - 1)(8x^3 + 16x^2 + 16x + 15) = (x - 1)(2x^2 + 4x + 5)(4x + 5).

Таким образом, разложение многочлена на множители: 8x^4 + 8x^3 - x - 1 = (x - 1)(2x^2 + 4x + 5)(4x + 5).