Question

Укажите точки максимума функции h(x)= lnx-x Даю 15 баллов

Answer 1

H`(x)=1/x -1=(1-x)/x=0
x=1
             +                    _
-----------------(1)--------------------
                   max
ymax=y(1)=ln1-1=0-1=-1

Answer 2

Для найти точки максимума функции $h(x) = \ln(x) - x$, нужно найти её производную и найти значения $x$, при которых производная равна нулю. Затем можно будет определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами, используя вторую производную.

1. Найдем производную $h(x)$: $h'(x) = \frac{d}{dx}(\ln(x) - x)$

Используя правило дифференцирования, получим:

$h'(x) = \frac{1}{x} - 1$

2. Теперь найдем точки, в которых $h'(x) = 0$:

$\frac{1}{x} - 1 = 0$

Решим это уравнение:

$\frac{1}{x} = 1$

$x = 1$

3. Теперь найдем вторую производную $h''(x)$ для определения характера точки $x = 1$:

$h''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x} - 1\right)$

Используя правило дифференцирования, получим:

$h''(x) = -\frac{1}{x^2}$

4. Оценим $h''(1)$:

$h''(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$

Таким образом, вторая производная $h''(1)$ отрицательна, что означает, что точка $x = 1$ является точкой максимума для функции $h(x) = \ln(x) - x$.

Итак, точка максимума функции $h(x)$ находится при $x = 1$, и её значение равно $h(1) = \ln(1) - 1 = 0 - 1 = -1$.