Question

Доказать, что данное выражение принимает положительные значения при любых значениях x и y (^ - "в степени"): 16y^2 + 6x - 8xy + x^2 + 12 - 24y

Answer 1

16у²+6х-8ху+х²+12-24у=(х²-8ху+16у²)+(6х-24у)+12=
=(х-4у)²+6(х-4у)+9+3=(х-4у+3)²+3
Так как (х-4у+3)²>0 при любых х и у,
то и все выражение (х-4у+3)²+3>0. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Чтобы доказать, что данное выражение принимает положительные значения при любых значениях x и y, давайте проанализируем его.

Выражение: 16y^2 + 6x - 8xy + x^2 + 12 - 24y

Для начала, разберемся с каждым членом выражения:

1. 16y^2 - это квадрат положительного числа y, поэтому он всегда будет неотрицательным.

2. 6x - это линейный член относительно x, который может быть любым числом.

3. -8xy - это произведение x и y с отрицательным коэффициентом, поэтому его значение будет отрицательным при любых значениях x и y.

4. x^2 - это квадрат x, который также всегда будет неотрицательным.

5. 12 - это постоянное положительное число.

6. -24y - это линейный член относительно y, который всегда будет отрицательным.

Теперь объединим все члены:

16y^2 + 6x - 8xy + x^2 + 12 - 24y

(16y^2 - 24y) + (6x - 8xy + x^2 + 12)

Мы видим, что первая пара скобок содержит только члены, зависящие от y, которые могут быть неотрицательными. Вторая пара скобок содержит члены, зависящие от x, которые также могут быть неотрицательными.

Поэтому, когда мы складываем неотрицательные члены (первая пара скобок всегда неотрицательна, вторая пара скобок может быть неотрицательной), результат также будет положительным числом.

Таким образом, данное выражение всегда принимает положительные значения при любых значениях x и y.