Question

Помогите решить тригонометрические уравнения: 1.) 2*cos^2(x)-sqrt(2)*sin(x)=0 2.) sin^2(x)+sin(x)*cos(x)-2*cos^2(x)=0 3.) 2*sin(x)-3*cos(x)=3

Answer 1

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Answer 2

Давайте решим каждое из этих тригонометрических уравнений поочередно.

1.) 2*cos^2(x) - sqrt(2)*sin(x) = 0

Мы можем использовать тригонометрическую идентичность sin^2(x) + cos^2(x) = 1 для замены cos^2(x) в уравнении:

2*(1 - sin^2(x)) - sqrt(2)*sin(x) = 0

Теперь раскроем скобки:

2 - 2*sin^2(x) - sqrt(2)*sin(x) = 0

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

2*sin^2(x) + sqrt(2)*sin(x) - 2 = 0

Теперь давайте проведем замену. Пусть t = sin(x). Тогда у нас есть:

2*t^2 + sqrt(2)*t - 2 = 0

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = (sqrt(2))^2 - 42(-2) = 2 + 16 = 18

Теперь используем формулу для корней квадратного уравнения:

t1 = (-sqrt(18) - sqrt(2))/(22) = (-3sqrt(2) - sqrt(2))/4 = -sqrt(2)/2 t2 = (-sqrt(18) + sqrt(2))/(22) = (-3sqrt(2) + sqrt(2))/4 = -sqrt(2)

Теперь мы должны найти соответствующие значения угла x. Используя обратные тригонометрические функции, получаем:

x1 = arcsin(-sqrt(2)/2) = -π/4 или -45 градусов x2 = arcsin(-sqrt(2)) = -π/2 или -90 градусов

2.) sin^2(x) + sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) = 0

Мы можем использовать ту же тригонометрическую идентичность sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы заменить cos^2(x):

1 + sin(x)cos(x) - 2(1 - sin^2(x)) = 0

Теперь раскрываем скобки:

1 + sin(x)cos(x) - 2 + 2sin^2(x) = 0

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

2*sin^2(x) + sin(x)*cos(x) - 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида:

Asin^2(x) + Bsin(x)*cos(x) + C = 0

Где A = 2, B = 1 и C = -1. Мы можем использовать квадратное уравнение для sin(x):

sin(x) = (-B ± sqrt(B^2 - 4AC))/(2*A)

sin(x) = (-1 ± sqrt(1 + 8))/4

sin(x) = (-1 ± sqrt(9))/4

sin(x) = (-1 ± 3)/4

Два возможных значения sin(x):

1. sin(x) = (-1 + 3)/4 = 2/4 = 1/2
2. sin(x) = (-1 - 3)/4 = -4/4 = -1

Теперь найдем соответствующие значения угла x, используя обратные тригонометрические функции:

1. x1 = arcsin(1/2) = π/6 или 30 градусов
2. x2 = arcsin(-1) = -π/2 или -90 градусов

3.) 2sin(x) - 3cos(x) = 3

Давайте разделим это уравнение на sqrt(2), чтобы избавиться от sqrt(2) в уравнении:

sqrt(2)(2sin(x) - 3*cos(x)) = sqrt(2)*3

2*sqrt(2)sin(x) - 3sqrt(2)cos(x) = 3sqrt(2)

Теперь мы можем использовать тригонометрические идентичности sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2, чтобы заменить sin(x) и cos(x):

2sqrt(2)(1/√2) - 3sqrt(2)(1/√2) = 3*sqrt(2)

2√2 - 3√2 = 3*√2

-√2 = 3*√2

Это уравнение не имеет решений, так как оно приводит к неверному утверждению (-√2 = 3*√2). Таким образом, данное уравнение не имеет решений.