Question

Решить тригонометрическое уравнение (1+tg^2x)sinx-tg^2x+1=0 Промежуток от -3;2

Answer 1

Sinx/cos²x-sin²x/cos²x +1=0
cosx≠0
sinx-sin²x+cos²x=0
sinx-sin²x+1-sin²x=0
2sin²x-sinx-1=0
sinx=a
2a²-a-1=0
D=1+8=9
a1=(1-3)/4=-1/2⇒sinx=-1/2⇒x=(-1)^n+1*π/6+πn
a2=(1+3)/4=1⇒sinx=π/2+2πn
x={-5π/6;-π/6;π/2}∈(-3;2)

Answer 2

Давайте рассмотрим данное тригонометрическое уравнение и попробуем его решить. Уравнение имеет следующий вид:

(1 + tg^2(x))sin(x) - tg^2(x) + 1 = 0

Для начала давайте заметим, что tg^2(x) = sin^2(x) / cos^2(x). Мы можем заменить tg^2(x) в уравнении этим выражением:

(1 + sin^2(x) / cos^2(x))sin(x) - sin^2(x) / cos^2(x) + 1 = 0

Теперь давайте умножим обе стороны на cos^2(x), чтобы избавиться от знаменателей:

(1 + sin^2(x))sin(x)cos^2(x) - sin^2(x) + cos^2(x) = 0

Теперь давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1 sin(x)cos^2(x) = sin(x) - sin^3(x)

Заменим эти тождества в уравнении:

(1 + sin^2(x))(sin(x) - sin^3(x)) - sin^2(x) + 1 = 0

Теперь упростим уравнение:

(sin(x) - sin^3(x) + sin^2(x) - sin^4(x)) - sin^2(x) + 1 = 0

Теперь объединим подобные члены:

sin(x) - sin^3(x) - sin^4(x) + 1 = 0

Теперь мы имеем кубическое уравнение относительно sin(x):

-sin^3(x) - sin^4(x) + sin(x) + 1 = 0

Давайте попробуем решить это уравнение численно на заданном интервале [-3, 2] с использованием программы или калькулятора. Мы найдем численные значения sin(x), которые удовлетворяют уравнению на этом интервале.