Question

1.Решите простейшее тригонометрическое уравнение 3sin(3x- 2п/3)=-3 и найдите все корни, принадлежащие промежутку [-п;0] 2. Решите тригонометрическое уравнение, сведением к квадратному 2cos^2x+7cosx-4=0 3. Решите однородное тригонометрическое уравнение 2sin^2x-5sinxcosx-cos^2x=-2

Answer 1

Решение во вложении.....

P.s: в первом не отбирал корни уравнения по окружности, т.к. там тройной аргумент.

Answer 2

1. Решение уравнения: 3sin(3x - 2π/3) = -3

Для решения данного уравнения, начнем с перевода всего выражения в функцию синуса с одним углом. Заметим, что у нас есть умножение на 3 перед синусом. Чтобы избавиться от него, разделим обе части уравнения на 3:

sin(3x - 2π/3) = -1

Теперь, чтобы найти все корни на интервале [-π; 0], нужно рассмотреть значения аргумента (3x - 2π/3) в пределах этого интервала. Вначале найдем общее решение уравнения sin(3x - 2π/3) = -1.

Общее решение для sin(3x - 2π/3) = -1: 3x - 2π/3 = -π/2 + 2kπ или 3x - 2π/3 = -3π/2 + 2kπ, где k - целое число

1. 3x = -π/2 + 2kπ + 2π/3
2. 3x = -3π/2 + 2kπ + 2π/3

Теперь найдем все значения x на интервале [-π; 0], подставляя k = -1, 0, 1 (и т.д., пока значение 3x не станет меньше -π).

Для k = -1:

1. 3x = -π/2 - 2π/3 x = (-π/2 - 2π/3) / 3 x = -π/6

Для k = 0:

1. 3x = -π/2 + 2π/3 x = (-π/2 + 2π/3) / 3 x = -π/6

Для k = 1:

1. 3x = -π/2 + 2π + 2π/3 x = (-π/2 + 8π/3) / 3 x = 7π/6

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие промежутку [-π; 0], равны: x = -π/6 и x = 7π/6.

2. Решение уравнения: 2cos^2(x) + 7cos(x) - 4 = 0

Данное уравнение является квадратным относительно cos(x). Для решения, введем временную замену: t = cos(x).

Тогда уравнение примет вид: 2t^2 + 7t - 4 = 0

Для решения квадратного уравнения найдем корни t:

t1 = (-b + √(b^2 - 4ac)) / 2a t2 = (-b - √(b^2 - 4ac)) / 2a

где a = 2, b = 7 и c = -4.

t1 = (-(7) + √((7)^2 - 4 * 2 * (-4))) / (2 * 2) t1 = (-(7) + √(49 + 32)) / 4 t1 = (-(7) + √81) / 4 t1 = (-(7) + 9) / 4 t1 = 2/4 t1 = 1/2

t2 = (-(7) - √((7)^2 - 4 * 2 * (-4))) / (2 * 2) t2 = (-(7) - √(49 + 32)) / 4 t2 = (-(7) - √81) / 4 t2 = (-(7) - 9) / 4 t2 = -16/4 t2 = -4

Таким образом, у нас два значения t: t1 = 1/2 и t2 = -4. Но угол косинуса не может быть больше 1 или меньше -1, поэтому отбросим t2 = -4.

Теперь найдем значения x:

1. t = cos(x) = 1/2 x = arccos(1/2) x = π/3

Итак, решение уравнения 2cos^2(x) + 7cos(x) - 4 = 0 на интервале [0, 2π]: x = π/3.

3. Решение уравнения: 2sin^2(x) - 5sin(x)cos(x) - cos^2(x) = -2

Данное уравнение тоже является квадратным, но содержит произведение sin(x) и cos(x). Для решения, воспользуемся формулами тригонометрии, связывающими sin(2x) и cos(2x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x)

Теперь заменим sin^2(x) и cos^2(x) в уравнении:

2(1 - cos^2(x)) - 5sin(x)cos(x) - cos(2x) = -2 2 - 2cos^2(x) - 5sin(x)cos(x) - cos(2x) = -2

Теперь заменим cos^2(x) с помощью тождества cos^2(x) = 1 - sin^2(x):

2 - 2(1 - sin^2(x)) - 5sin(x)cos(x) - cos(2x) = -2 2 - 2 + 2sin^2(x) - 5sin(x)cos(x) - cos(2x) = -2

Упростим уравнение:

2sin^2(x) - 5sin(x)cos(x) - cos(2x) = 0

Теперь у нас получилось уравнение без произведения sin(x) и cos(x). Для решения этого уравнения, потребуется з