Question

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции y=x^3-3x+5 заранее спасибо

Answer 1

Y=x³-3x+5
 находим производную:
y''=3x²-3
находим критические точки:3x²-3=0
3(x²-1)=0
3(x-1)(x+1)=0
x₁=1
x₂=-1
на промежутках  (-∞;-1) и (1;+∞) функция возрастает
на промежутке (-1;1) - убывает

Answer 2

Для нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции $y = x^3 - 3x + 5$, мы начнем с нахождения производной функции и анализа ее знаков.

1. Найдем производную функции $y = x^3 - 3x + 5$: $y' = 3x^2 - 3$.

2. Теперь найдем критические точки, где $y' = 0$: $3x^2 - 3 = 0$.

   Решим это уравнение: $3x^2 = 3$, $x^2 = 1$, $x = \pm 1$.

   Таким образом, у нас есть две критические точки: $x = -1$ и $x = 1$.

3. Теперь определим интервалы монотонности, используя знаки производной $y'$ между критическими точками и за пределами:

   • Между $-\infty$ и $-1$: Выберем значение $x$ меньше $-1$, например, $x = -2$. Тогда $3x^2 - 3 = 3(-2)^2 - 3 = 9 - 3 = 6 > 0$. Производная положительна, поэтому функция возрастает на этом интервале.

   • Между $-1$ и $1$: Выберем значение $x$ между $-1$ и $1$, например, $x = 0$. Тогда $3x^2 - 3 = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0$. Производная отрицательна, поэтому функция убывает на этом интервале.

   • Между $1$ и $+\infty$: Выберем значение $x$ больше $1$, например, $x = 2$. Тогда $3x^2 - 3 = 3(2)^2 - 3 = 9 - 3 = 6 > 0$. Производная положительна, поэтому функция возрастает на этом интервале.

4. Теперь мы можем определить экстремумы. Поскольку функция переходит из возрастания в убывание при $x = -1$, у нас есть локальный максимум в этой точке. Аналогично, так как функция переходит из убывания в возрастание при $x = 1$, у нас есть локальный минимум в этой точке.

Итак, интервалы монотонности и экстремумы функции $y = x^3 - 3x + 5$ такие:

• Функция возрастает на интервале $(-\infty, -1)$.
• Функция убывает на интервале $(-1, 1)$.
• Функция возрастает на интервале $(1, +\infty)$.

Также у функции есть локальный максимум в точке $(x, y) = (-1, 7)$ и локальный минимум в точке $(x, y) = (1, 3)$.