Question

Найдите наименьшее значение функции x^3/2 - 18x+15 на отрезке [3;410].

Answer 1

$y=x^{ \frac{3}{2} } -18x+15 \\ y' = 1,5x^{ \frac{1}{2} } -18 \\ 1,5x^{ \frac{1}{2} } -18=0 \\ 1,5x^{ \frac{1}{2} } =18 \\ x^{ \frac{1}{2} }= \frac{18}{15} =12 \\ x=144. \\ f(3)= \sqrt{27} - 18*3 +15$≈-34.
$f(144)= \sqrt{144^{3}} -18*144+15 = -849 \\ f(410) = \sqrt{410^{3}} - 18*410 + 15$≈936,9.
$\frac{min(y)}{[3;410]} = y(144) = -849;$

Answer 2

Чтобы найти наименьшее значение функции $f(x) = x^{3/2} - 18x + 15$ на отрезке $[3; 410]$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} - 18$

2. Решите уравнение $f'(x) = 0$, чтобы найти критические точки функции:

$\frac{3}{2}x^{1/2} - 18 = 0$

Умножим обе стороны на 2:

$3x^{1/2} - 36 = 0$

Теперь добавим 36 к обеим сторонам:

$3x^{1/2} = 36$

Далее, разделим обе стороны на 3:

$x^{1/2} = 12$

Возвести обе стороны в квадрат:

$x = 12^2$

$x = 144$

Таким образом, у нас есть одна критическая точка $x = 144$ на отрезке $[3; 410]$.

3. Теперь найдите значения функции $f(x)$ в критической точке и на концах отрезка:

$f(3) = 3^{3/2} - 18 \cdot 3 + 15 = 3\sqrt{3} - 54 + 15$

$f(144) = 144^{3/2} - 18 \cdot 144 + 15 = 1728 - 2592 + 15$

$f(410) = 410^{3/2} - 18 \cdot 410 + 15 = 6892100 - 7380 + 15$

4. Теперь сравните значения функции в найденных точках:

$f(3) \approx -34.39$

$f(144) = -849$

$f(410) \approx 6884715.57$

Самое маленькое значение функции $f(x)$ на отрезке $[3; 410]$ достигается в точке $x = 144$ и равно -849.