Question

Решите уравнение x^3-3x^2-4x+12=0

Answer 1

Смотрите решение в прикреплённом файле.

Answer 2

Для решения кубического уравнения x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0 мы можем воспользоваться различными методами, например, методом Рациоцинальных Корней (Rational Root Theorem) для поиска рациональных корней и методом деления с остатком для упрощения уравнения.

Сначала давайте применим метод Рациоцинальных Корней, чтобы найти рациональные корни уравнения. Рациональные корни будут представлять собой все возможные делители числа 12 (коэффициента при свободном члене), поделенные на все возможные делители коэффициента при старшей степени x (в данном случае, это 1). Таким образом, возможные рациональные корни включают ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 и ±12.

Давайте пробуем эти значения в уравнении, начиная с положительных значений:

1. Подставим x = 1: (1)^3 - 3(1)^2 - 4(1) + 12 = 1 - 3 - 4 + 12 = 6

2. Подставим x = 2: (2)^3 - 3(2)^2 - 4(2) + 12 = 8 - 12 - 8 + 12 = 0

Мы нашли рациональный корень x = 2, так как значение уравнения равно 0 при x = 2.

Теперь, когда у нас есть один рациональный корень (x = 2), мы можем использовать метод деления с остатком для деления уравнения на (x - 2), чтобы найти два оставшихся корня. Выглядит это так:

Делим x^3 - 3x^2 - 4x + 12 на (x - 2) с помощью деления с остатком:

scssCopy code
          x^2 - x - 6
x - 2 | x^3 - 3x^2 - 4x + 12
          (x^3 - 2x^2)
          -------------
                  (-x^2 - 4x)
                  (-x^2 + 2x)
                  -------------
                          (-6x + 12)
                          (-6x + 12)
                          -------------
                                    0

Мы видим, что после деления у нас не осталось остатка, и получилось уравнение x^2 - x - 6 = 0. Теперь давайте решим это квадратное уравнение.

Используя метод квадратного уравнения или факторизацию, мы можем найти корни квадратного уравнения:

x^2 - x - 6 = 0

(x - 3)(x + 2) = 0

Из этого уравнения мы видим два решения:

1. x - 3 = 0, отсюда x = 3.
2. x + 2 = 0, отсюда x = -2.

Таким образом, уравнение x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0 имеет три корня: x = 2, x = 3 и x = -2.