Question

Cos72cos12+cos18sin78,преобразовать тригонометрическое уравнение

Answer 1

$cos72cos12+cos18sin78=cos72cos12+cos18cos12=\\\\=cos12(cos72+cos18)=cos12\cdot 2cos45\cdot cos27=\sqrt2cos12\cdot cos27$

Answer 2

Для преобразования данного тригонометрического выражения можно использовать тригонометрические тождества. Давайте начнем с упрощения данного выражения:

cos(72°)cos(12°) + cos(18°)sin(78°)

Используя тригонометрическое тождество для произведения синуса и косинуса углов:

sin(A)cos(B) = (1/2)sin(A + B) + (1/2)sin(A - B)

Мы можем преобразовать выражение:

cos(72°)cos(12°) + cos(18°)sin(78°) = (1/2)[sin(72° + 12°) + sin(72° - 12°)] + (1/2)[sin(18° + 78°) + sin(78° - 18°)]

Теперь рассмотрим углы:

sin(72° + 12°) = sin(84°)

sin(72° - 12°) = sin(60°)

sin(18° + 78°) = sin(96°)

sin(78° - 18°) = sin(60°)

Теперь мы можем подставить эти значения обратно в исходное уравнение:

(1/2)[sin(84°) + sin(60°)] + (1/2)[sin(96°) + sin(60°)]

Теперь вычислим значения синусов:

sin(84°) = sin(60° + 24°) = sin(60°)cos(24°) + cos(60°)sin(24°)

sin(60°) = 1/2

cos(24°) и sin(24°) можно вычислить, используя тригонометрические тождества:

cos(24°) = cos(60° - 36°) = cos(60°)cos(36°) + sin(60°)sin(36°)

sin(24°) = sin(60° - 36°) = sin(60°)cos(36°) - cos(60°)sin(36°)

Теперь мы знаем значения cos(24°) и sin(24°), и можем подставить их в уравнение:

sin(84°) = (1/2)[(1/2)cos(24°) + (1/2)sin(24°)] + (1/2)

sin(60°) = 1/2

Теперь вычислим sin(96°) и подставим его:

sin(96°) = sin(60° + 36°) = sin(60°)cos(36°) + cos(60°)sin(36°)

Также мы знаем значения cos(36°) и sin(36°), и можем подставить их:

sin(96°) = (1/2)[(1/2)cos(36°) + (1/2)sin(36°)] + (1/2)

Теперь у нас есть все значения и можем окончательно вычислить уравнение:

(1/2)[(1/2)cos(24°) + (1/2)sin(24°)] + (1/2) + (1/2) + (1/2)[(1/2)cos(36°) + (1/2)sin(36°)] + (1/2)

Теперь вычислим все значения:

(1/2)[(1/2)cos(24°) + (1/2)sin(24°)] + (1/2) + (1/2) + (1/2)[(1/2)cos(36°) + (1/2)sin(36°)] + (1/2)

Теперь вычислим значения cos(24°) и sin(24°), а также cos(36°) и sin(36°):

cos(24°) = cos(60° - 36°) = cos(60°)cos(36°) + sin(60°)sin(36°)

sin(24°) = sin(60° - 36°) = sin(60°)cos(36°) - cos(60°)sin(36°)

cos(36°) = cos(60° - 24°) = cos(60°)cos(24°) + sin(60°)sin(24°)

sin(36°) = sin(60° - 24°) = sin(60°)cos(24°) - cos(60°)sin(24°)

Теперь мы можем подставить значения:

(1/2)[(1/2)(cos(60°)cos(36°) + sin(60°)sin(36°)) + (1/2)(sin(60°)cos(36°) - cos(60°)sin(36°))] + (1/2) + (1/2) + (1/2)[(1/2)(cos(60°)cos(24°) + sin(60°)sin(24°)) + (1/2)(sin(60°)cos(24°) - cos(60°)sin(24°))] + (1/2)

Теперь раскроем скобки и упростим:

(1/4)[cos(60°)cos(36°) + sin(60°)sin(36°) + sin(60°)cos(36°) - cos(60°)sin(36°)] + (1/2) + (1/2) + (1/4)[cos(60°)cos(24°) + sin(60°)sin(24°) + sin(60°)cos(24°) - cos(60°)sin(24°)] + (1/2)

Теперь сложим подобные члены:

(1/4)[cos(60°)cos(36°) + sin(60°)cos(36°)] + (1/2) + (1/2) + (1/4)[cos(60°)cos(24°) + sin(60°)cos(24°)] + (1/2)

Теперь вынесем общий множитель (1/4):

(1/4)[cos(60°)(cos(36°) + sin(36°)) + cos(60°)(cos(24°) + sin(24°))] + (1/2) + (1/2)

Теперь можно заметить, что (cos(36°) + sin(36°)) и (cos(24°) + sin(24°)) являются значениями синуса 54° и синуса 54° соответственно, так как сумма косинуса и синуса угла равна синусу этого угла:

(1/4)[cos(60°)sin(54°) + cos(60°)sin(54°)] + (1/2) + (1/2)

Теперь вынесем общий множитель (1/4) и сложим подобные члены:

(1/4)[2cos(60°)sin(54°)] + (1/2) + (1/2)

Теперь вычислим значение cos(60°):

cos(60°) = 1/2

Итак, мы можем подставить это значение:

(1/4)[2(1/2)sin(54°)] + (1/2) + (1/2)

(1/4)[sin(54°)] + (1/2) + (1/2)

Теперь вычислим sin(54°). Угол 54° можно представить как 30° + 24°:

sin(54°) = sin(30° + 24°)

Используя тригонометрическое тождество для суммы углов:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

sin(54°) = sin(30°)cos(24°) + cos(30°)sin(24°)

sin(30°) = 1/2 cos(30°) = √3/2

Теперь мы можем вычислить sin(54°):

sin(54°) = (1/2)(√3/2)cos(24°) + (√3/2)(1/2)sin(24°)

sin(54°) = (√3/4)cos(24°) + (√3/4)sin(24°)

Теперь мы можем подставить значение sin(54°) обратно в уравнение:

(1/4)[(√3/4)cos(24°) + (√3/4)sin(24°)] + (1/2) + (1/2)

Теперь раскроем скобки и упростим:

(1/16)(√3cos(24°) + √3sin(24°)) + 1

Теперь можем объединить члены:

(√3/16)(cos(24°) + sin(24°)) + 1

Итак, преобразованное тригонометрическое уравнение равно:

(√3/16)(cos(24°) + sin(24°)) + 1