Question

Составьте уравнение касательной к графику функции y=1/3 x^3-2x^2 в точке с абсциссой x_0=3

Answer 1

Написать уравнение касательной к графику функции
 y = (1/3)*(x^3)-2*(x^2) в точке  с абсциссой x₀ = 3.
Решение.
Запишем уравнение касательной в общем виде:
y = y₀ + y'(x₀)(x - x₀)
По условию задачи x₀ = 3, тогда y₀ = - 9
Теперь найдем производную:
y` = ((1/3)*x³ - 2*x²)` = x² - 4x
следовательно:
f'(3) = 3² - 4*3 = - 3
В результате имеем:
y = - 9 - 3*(x - 3) = - 9 - 3x + 9 = - 3x
y = - 3x  - искомое уравнение касательной

Answer 2

Для составления уравнения касательной к графику функции y = (1/3)x^3 - 2x^2 в точке с абсциссой x_0 = 3, мы можем воспользоваться производной функции. Касательная к графику функции в данной точке будет иметь такой же наклон, как и график функции в этой точке, поэтому мы будем использовать производную функции в точке x_0 = 3 для определения наклона касательной.

1. Найдем производную функции y = (1/3)x^3 - 2x^2: y' = d/dx [(1/3)x^3 - 2x^2]

Для нахождения производной, применяем правило степенной функции:

y' = (1/3) * 3x^2 - 2 * 2x = x^2 - 4x

2. Теперь найдем значение производной в точке x_0 = 3:

   y'(3) = (3)^2 - 4 * 3 = 9 - 12 = -3

3. Теперь у нас есть наклон (производная) касательной в точке x_0 = 3. Теперь мы можем использовать формулу касательной линии:

   y - y_0 = m(x - x_0)

где (x_0, y_0) - это координаты точки, к которой проводим касательную.

В данном случае, x_0 = 3, y_0 = (1/3)(3^3) - 2(3^2) = 3 - 18 = -15, а m = -3 (наклон касательной).

Подставляем значения в уравнение:

y - (-15) = -3(x - 3)

y + 15 = -3(x - 3)

Теперь это уравнение касательной к графику функции y = (1/3)x^3 - 2x^2 в точке с абсциссой x_0 = 3.