Question

Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x_0 1) f(x)=〖3x〗^2; x_0=2 2) f(x)=〖5x〗^2-3; x_0=-1

Answer 1

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид:

$y_k=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

1.

$f(x)=(3x)^2$

$f(x_0)=f(2)=(3\cdot2)^2=6^2=36$

$f'(x)=2\cdot3x\cdot(3x)'=6x\cdot3=18x$

$f'(x_0)=f'(2)=18\cdot2=36$

Уравнение касательной:

$y_k=36+36(x-2)=36+36x-72=36x-36$

$\boxed{y_k=36x-36}$

2.

$f(x)=(5x)^2-3$

$f(x_0)=f(-1)=(5\cdot(-1))^2-3=25-3=22$

$f'(x)=2\cdot5x\cdot(5x)'=10x\cdot5=50x$

$f'(x_0)=f'(-1)=50\cdot(-1)=-50$

Уравнение касательной:

$y_k=22-50(x-(-1))=22-50(x+1)=22-50x-50=-50x-28$

$\boxed{y_k=-50x-28}$

Answer 2

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x₀ можно записать в виде y - y₀ = m(x - x₀), где (x₀, y₀) - координаты точки касания, а m - угловой коэффициент касательной.

1. Для функции f(x) = 3x² и x₀ = 2: Вычислим производную функции f(x): f'(x) = d/dx (3x²) = 6x.

В точке x₀ = 2 значение производной равно: m = f'(x₀) = 6 * 2 = 12.

Теперь найдем значение функции в точке x₀: y₀ = f(x₀) = 3 * (2²) = 12.

Таким образом, уравнение касательной: y - 12 = 12(x - 2) или y = 12x - 12.

2. Для функции f(x) = 5x² - 3 и x₀ = -1: Вычислим производную функции f(x): f'(x) = d/dx (5x² - 3) = 10x.

В точке x₀ = -1 значение производной равно: m = f'(x₀) = 10 * (-1) = -10.

Теперь найдем значение функции в точке x₀: y₀ = f(x₀) = 5 * (-1)² - 3 = 5 - 3 = 2.

Таким образом, уравнение касательной: y - 2 = -10(x + 1) или y = -10x + 12.