Question

Решите неравенства: 1.3x^2+5x-37≥(x+9)(x-4) 2.2x^4-3x^2+1≥0 (следующие - методом интервалов) 3. (x+4)(x+2)^2(x-1)^3(x-5)≥0

Answer 1

1
3x^2+5x-37≥(x+9)(x-4)
3x²+5x-37-x²+4x-9x+36≥0
2x²-1≥0
(√2x-1)(√2x+1)≥0
x=1/√2 U x=-1/√2
x∈(-∞;-1/√2] U [1/√2;∞)
2
2x^4-3x^2+1≥0
x²=a
2a²-3a+1≥0
D=9-8=1
a1=(3-1)/4=1/2 U a2=(3+1)/4=1
a≤1/2⇒x²≤1/2⇒(x-1/√2)(x+1/√2)≤0⇒-1/√2≤x≤1/√2
a≥1⇒x²≥1⇒(x-1)(x+1)≥0⇒x≤-1 U x≥1
x∈(-∞;-1] U [-1/√2;1/√2] U [1;∞)
3
(x+4)(x+2)^2(x-1)^3(x-5)≥0
x=-4  x=-2  x=1  x=5
     _                +                      +                _                  +
---------[-4]--------------[-2]------------[1]------------[5]-------------------
x∈[-4;1] U [5;∞)

Answer 2

Давайте решим каждое неравенство по очереди, используя метод интервалов:

1. $1.3x^2 + 5x - 37 \geq (x + 9)(x - 4)$

   Сначала упростим неравенство:

   $1.3x^2 + 5x - 37 \geq x^2 + 5x - 36$

   Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону:

   $1.3x^2 - x^2 + 5x - 5x - 37 + 36 \geq 0$

   $0.3x^2 - 1 \geq 0$

   Умножим обе стороны на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:

   $3x^2 - 10 \geq 0$

   Теперь факторизуем:

   $(x + \sqrt{10})(x - \sqrt{10}) \geq 0$

   Поскольку у нас есть квадратный корень, разделим интервалы на участки, где каждый множитель положителен, равен нулю или отрицателен.

   $x < -\sqrt{10}$ : оба множителя отрицательны, и произведение положительно. $-\sqrt{10} < x < \sqrt{10}$ : первый множитель положителен, а второй отрицателен, произведение отрицательно. $x > \sqrt{10}$ : оба множителя положительны, и произведение положительно.

   Таким образом, решение этого неравенства - это интервалы $x < -\sqrt{10}$ и $x > \sqrt{10}$:

   $-\infty < x < -\sqrt{10}$ или $x > \sqrt{10}$

2. $2x^4 - 3x^2 + 1 \geq 0$

   Это уравнение выглядит как квадратное уравнение в $x^2$. Давайте представим $x^2$ как переменную, например, $y = x^2$:

   $2y^2 - 3y + 1 \geq 0$

   Теперь давайте решим это квадратное уравнение:

   $(2y - 1)(y - 1) \geq 0$

   После факторизации мы получаем два корня: $y = \frac{1}{2}$ и $y = 1$.

   Теперь вернемся к $x^2$:

   $x^2 = \frac{1}{2}$ или $x^2 = 1$

   Для первого случая:

   $x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

   Для второго случая:

   $x = \pm 1$

   Таким образом, решение неравенства - это интервалы:

   $x \in \left\{-\sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}}, -1, 1\right\}$

3. $(x + 4)(x + 2)^2(x - 1)^3(x - 5) \geq 0$

   Давайте рассмотрим интервалы, где каждый множитель положителен, равен нулю или отрицателен.

   1. $x < -4$: Все множители отрицательны, произведение отрицательно.
   2. $-4 < x < -2$: Первый множитель положителен, а остальные отрицательны, произведение отрицательно.
   3. $-2 < x < 1$