Question

Укажите наименьший корень уравнения 2 log5cosx=log0,2 4, принадлежавший промежутку [-90°;90°]

Answer 1

ОДЗ: (логарифмируемое выражение должно быть больше нуля)
$cosx\ \textgreater \ 0$

Решение:

$2 log_5(cosx)=log_{0,2} 4 \\ \\ 2 log_5(cosx)=log_{\frac{1}{5} } 4 \\ \\ 2 log_5(cosx)=log_{5^{-1}} 4 \\ \\ log_5(cos^2x)=log_{5} 4^{-1} \\ \\ cos^2x= \frac{1}{4} \\ \\ 1) \ cosx= \frac{1}{2}$

$2) \ cosx=- \frac{1}{2}$ - не удовлетворяет ОДЗ.

$cosx= \frac{1}{2} \\ \\ x=^+_-60 +360n, \ n \in Z$

Наименьший корень: -60°

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и постепенно решим его.

Уравнение: 2 * log₅(cosx) = log₀,₂(4)

Сначала преобразуем логарифмы:

log₅(cosx)² = log₀,₂(4) (cosx)² = 2² cosx = ±√2

В промежутке [-90°; 90°] наименьшее положительное значение cosx равно √2/2 (когда x = 45°).

Таким образом, x = 45° (или π/4 радиан).

Answer 3

Давайте рассмотрим данное уравнение и найдем корень на указанном промежутке:

Уравнение: 2 * log₅(cos(x)) = log₀,₂(4)

Сначала давайте решим уравнение для логарифма с основанием ₂:

log₀,₂(4) = 2, так как ₂² = 4.

Подставим это значение обратно в уравнение:

2 * log₅(cos(x)) = 2

Теперь делим обе стороны на 2:

log₅(cos(x)) = 1

Теперь переведем это в эквивалентное уравнение без логарифмов:

cos(x) = 5¹ = 5

Однако значение косинуса не может быть больше 1 по модулю, а также не может быть отрицательным на интервале [-90°, 90°]. Поэтому нет такого угла x, который бы удовлетворял уравнению cos(x) = 5.

Следовательно, данное уравнение не имеет корней на интервале [-90°, 90°].