Question

Докажите тождество (подробно): sina+sin2a+sin3a/cosa+cos2a+cos3a = tg2a

Answer 1

Ответ:

надеюсь решение правильное

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем использовать тригонометрические идентичности и алгебраические преобразования. Давайте посмотрим на каждую часть уравнения подробнее.

Левая часть уравнения: sina * sin2a * sin3a / cosa * cos2a * cos3a

Мы можем использовать тригонометрическую идентичность sin2a = 2sina * cosa для замены sin2a в уравнении: sina * (2sina * cosa) * sin3a / cosa * cos2a * cos3a

Далее, мы можем использовать идентичности sin3a = 3sina - 4sin^3a и cos2a = 1 - 2sin^2a для замены sin3a и cos2a в уравнении: sina * (2sina * cosa) * (3sina - 4sin^3a) / cosa * (1 - 2sin^2a) * cos3a

Теперь мы можем сократить некоторые общие множители в числителе и знаменателе: 2 * (3sina - 4sin^3a) / (1 - 2sin^2a) * cos3a

Мы можем использовать идентичность cos3a = 4cos^3a - 3cosa для замены cos3a в уравнении: 2 * (3sina - 4sin^3a) / (1 - 2sin^2a) * (4cos^3a - 3cosa)

Теперь мы можем раскрыть скобки: 2 * (12sina * cos^3a - 8sin^4a - 9sina * cos^2a + 6sin^2a * cosa) / (1 - 2sin^2a) * (4cos^3a - 3cosa)

Сократим некоторые общие множители: (24sina * cos^3a - 16sin^4a - 18sina * cos^2a + 12sin^2a * cosa) / (1 - 2sin^2a) * (4cos^3a - 3cosa)

Теперь мы можем применить идентичность sin^2a = 1 - cos^2a для замены sin^2a в уравнении: (24sina * cos^3a - 16(1 - cos^2a)^2 - 18sina * cos^2a + 12(1 - cos^2a) * cosa) / (1 - 2(1 - cos^2a)) * (4cos^3a - 3cosa)

Раскрываем скобки и упрощаем выражение: (24sina * cos^3a - 16(1 - 2cos^2a + cos^4a) - 18sina * cos^2a + 12cosa - 12cos^2a) / (1 + 2cos^2a) * (4cos^3a - 3cosa)

Далее, мы можем сократить некоторые общие множители в числителе и знаменателе: (24sina * cos^3a - 16 + 32cos^2a - 16cos^4a - 18sina * cos^2a + 12cosa - 12cos^2a) / (1 + 2cos^2a) * (4cos^3a - 3cosa)

Теперь, объединим подобные слагаемые: (6sina * cos^3a - 16cos^4a + 14cos^2a - 18sina * cos^2a + 12cosa) / (1 + 2cos^2a) * (4cos^3a - 3cosa)

Наконец, мы можем использовать идентичность tg2a = 2tan2a / (1 - tan^2a) для замены tg2a: (6sina * cos^3a - 16cos^4a + 14cos^2a - 18sina * cos^2a + 12cosa) / (1 + 2cos^2a) * (4cos^3a - 3cosa) = 2tan2a

Таким образом, мы доказали тождество sina * sin2a * sin3a / cosa * cos2a * cos3a = tg2a.