Question

Геометрическая прогрессия (xn) состоит из четырех членов: 10,a,b, 2/25. Найдите a и b.

Answer 1

Дано:  $x_1=10;\,\,\,\, x_4= \frac{2}{25} .$

Найти:  $a;b.$

Решение:

Знаменатель
    $q= \sqrt[n-m]{ \frac{x_n}{x_m} } = \sqrt[4-1]{ \frac{x_4}{x_1} } = \sqrt[3]{ \frac{2}{25\cdot10} } = \frac{1}{5}$

Находим а и b.

$a=x_1\cdot q=10\cdot \frac{1}{5} =2$

$b=x_1\cdot q^2=10\cdot \frac{1}{5^2}= \frac{2}{5}$

Answer 2

A/10 = b/a
a/10 * a = b
b = a^2/10

a/10 = 2/25 / b
a/10 = (2 * 10) / (25 * a^2) = 4 / 5 * a^2
10 = (a * (5 * a^2)) / 4 = 5a^3/4
5a^3 = 10 * 4 = 40
a^3 = 40/5 = 8
a = 2
b = 2^2/10 = 4/10

Answer 3

Дано, что последовательность является геометрической прогрессией с четырьмя членами: 10, a, b, 2/25. Обозначим первый член как $x_1$, второй как $x_2$, третий как $x_3$ и четвертый как $x_4$.

Так как последовательность является геометрической прогрессией, то отношение любых двух соседних членов будет постоянным. То есть:

$\frac{x_2}{x_1} = \frac{x_3}{x_2} = \frac{x_4}{x_3}$

Заменим значения из данной последовательности:

$\frac{a}{10} = \frac{b}{a} = \frac{2/25}{b}$

Из первого равенства получаем:

$a^2 = 10b$

Из второго равенства:

$b^2 = 2/25 \cdot a$

Мы получили систему уравнений:

$\begin{cases} a^2 = 10b \\ b^2 = \frac{2}{25} \cdot a \end{cases}$

Из первого уравнения можно выразить $b$ через $a$:

$b = \frac{a^2}{10}$

Подставляем это значение $b$ во второе уравнение:

$\left(\frac{a^2}{10}\right)^2 = \frac{2}{25} \cdot a$

Упростим уравнение:

$\frac{a^4}{100} = \frac{2a}{25}$

Умножим обе стороны на 100 для избавления от дроби:

$a^4 = 8a$

Теперь мы имеем уравнение четвертой степени. Чтобы решить это уравнение, найдем его корни:

$a(a^3 - 8) = 0$

Это уравнение имеет два возможных решения: $a = 0$ или $a^3 = 8$.

Если $a = 0$, то из первого уравнения следует, что $b = 0$, что не соответствует исходным данным, так как в данной последовательности нет нулей.

Если $a^3 = 8$, то $a = 2$, так как $2^3 = 8$. Подставляем $a = 2$ в первое уравнение:

$a^2 = 10b$ $2^2 = 10b$ $4 = 10b$ $b = \frac{2}{5}$

Таким образом, $a = 2$ и $b = \frac{2}{5}$ являются решениями данной задачи.