Question

геометрическая прогрессия состоит из 12 членов.умма первых четырех членов равна 1440,а сумма следующих четырех членов равна 90.найти сумму последних четырех членов этой прогрессии

Answer 1

$b_{n}=b_{1}q^{n-1}$
можем составить суммы членов:
$b_{1}+b_{1}q+b_{1}q^{2}+b_{1}q^{3}=1440$
$b_{1}q^{4}+b_{1}q^{5}+b_{1}q^{6}+b_{1}q^{7}=90$
вынесем общий множитель и составим систему уравнений:
$\left \{ {{b_{1}(1+q+q^{2}+q^{3})=1440} \atop {{b_{1}q^{4}(1+q+q^{2}+q^{3})=90} \right.$
как видим первое можно подставить во второе:
$q^{4}1440=90$
$q^{4}= \frac{90}{1440}= \frac{1}{16}$
уравнение для последних четырех членов:
$b_{9}+b_{10}+b_{11}+b_{12}=b_{1}q^{8}+b_{1}q^{9}+b_{1}q^{10}+b_{1}q^{11}$
также вынесем общий множитель:
${b_{1}q^{8}(1+q+q^{2}+q^{3})={b_{1}(q^{4})^{2}(1+q+q^{2}+q^{3})$
${b_{1}(1+q+q^{2}+q^{3})=1440$   
$q^{4}=\frac{1}{16}$ 
Получаем:
 $b_{9}+b_{10}+b_{11}+b_{12}=1440 (\frac{1}{16})^{2}= \frac{90}{16}= \frac{45}{8}$




 

Answer 2

Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель прогрессии равен q.

Тогда сумма первых четырех членов прогрессии равна: S1 = a + aq + aq^2 + aq^3 = a(1 + q + q^2 + q^3) = 1440

Сумма следующих четырех членов прогрессии равна: S2 = aq^4 + aq^5 + aq^6 + aq^7 = aq^4(1 + q + q^2 + q^3) = 90

Так как q не равно 1 (иначе прогрессия будет арифметической), можно разделить уравнения S1 и S2, чтобы избавиться от переменной a:

S1 / S2 = (a(1 + q + q^2 + q^3)) / (aq^4(1 + q + q^2 + q^3)) 1440 / 90 = (1 + q + q^2 + q^3) / (q^4(1 + q + q^2 + q^3))

16 = 1 / q^4

q^4 = 1 / 16 q = (1 / 16)^(1/4) q = 0.5

Теперь, зная значение q, можно найти значение a из уравнения S1: a(1 + 0.5 + 0.5^2 + 0.5^3) = 1440 a(1 + 0.5 + 0.25 + 0.125) = 1440 a(1.875) = 1440 a = 1440 / 1.875 a = 768

Теперь, имея значения a и q, можно найти сумму последних четырех членов прогрессии: S3 = 768(0.5^8 + 0.5^9 + 0.5^10 + 0.5^11) S3 = 768(1/256 + 1/512 + 1/1024 + 1/2048) S3 = 768(0.00390625 + 0.001953125 + 0.0009765625 + 0.00048828125) S3 = 768(0.00732421875) S3 = 5.625