Question

Докажите что при всех натуральных Н значение выражения 1) н(н+22)-(н-2)(н+12) делится на 122) (н+8)(н+9)-н(н-7) делится на 24

Answer 1

1) $n(n + 22) - (n - 2)(n + 12) =$   $n^{2} + 22n - n^{2} - 12n + 2n + 24 = 12n + 24$ =  $12(n + 2)$
Т.к. один из множителей делится на 12, то всё произведение делится на 12 без остатка.

2)  $(n + 8)(n + 9) - n(n - 7) =$  $n^{2} + 9n + 8n + 72 - n^{2} + 7n =$ $24n + 72 = 24(n + 3).$
Т.к. один из множителей делится на 24, то всё произведение делится на 24 без остатка.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое выражение по очереди и докажем, что оно делится на заданное число.

Выражение 1: н(н+22) - (н-2)(н+12)

Распишем это выражение:

н(н+22) - (н-2)(н+12) = н^2 + 22н - (н^2 + 12н - 2н - 24) = н^2 + 22н - н^2 - 12н + 2н + 24 = 12н + 24

Мы видим, что 12н + 24 делится на 12, так как оба слагаемых кратны 12. Также, 12н + 24 делится на 2, так как оба слагаемых кратны 2. Таким образом, выражение 12н + 24 делится как на 12, так и на 2, а значит, оно делится на 12 * 2 = 24.

Выражение 2: (н+8)(н+9) - н(н-7)

Распишем это выражение:

(н+8)(н+9) - н(н-7) = н^2 + 9н + 8н + 72 - н^2 + 7н = 16н + 72

Мы видим, что 16н + 72 делится на 8, так как оба слагаемых кратны 8. Таким образом, выражение 16н + 72 делится на 8.

Таким образом, мы доказали, что оба выражения делятся на заданные числа: первое выражение делится на 24, а второе выражение делится на 8.