Question

Найдите общий вид первообразной для функции f(x) = (3x-2)³ - 2cos (5x-π/3)

Answer 1

1/3*((3x-2)^4)/4 - 2/5sin(5x-pi/3) + C
((3x-2)^4)/12  -  2/5sin(5x-pi/3) + C

Answer 2

Чтобы найти общий вид первообразной для функции $f(x) = (3x-2)^3 - 2\cos(5x-\frac{\pi}{3})$, мы можем интегрировать каждое слагаемое по отдельности.

1. Интегрирование слагаемого $(3x-2)^3$: $\int (3x-2)^3 \, dx$

   Для интегрирования этого слагаемого, мы можем использовать формулу для интеграла от степенной функции: $\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$

   Применяя эту формулу, получаем: $\frac{1}{4}(3x-2)^4 + C_1$

2. Интегрирование слагаемого $-2\cos(5x-\frac{\pi}{3})$: $\int -2\cos(5x-\frac{\pi}{3}) \, dx$

   Для интегрирования этого слагаемого, мы можем использовать формулу для интеграла от косинуса: $\int \cos(ax+b) \, dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C$

   Применяя эту формулу с $a = 5$ и $b = -\frac{\pi}{3}$, получаем: $-\frac{2}{5}\sin(5x-\frac{\pi}{3}) + C_2$

Таким образом, общий вид первообразной для функции $f(x) = (3x-2)^3 - 2\cos(5x-\frac{\pi}{3})$ будет: $F(x) = \frac{1}{4}(3x-2)^4 - \frac{2}{5}\sin(5x-\frac{\pi}{3}) + C$ где $C$ - произвольная постоянная.