Question

1)Длинна вектора 4, найдите его координаты, если они ровны. 2)вычислить угол между a=2i+j и b=I+2j-3k

Answer 1

1.  у вектора а координаты {p,p,p}    |a|=√(p²+p²+p²)=|p|√3=4  p=4/√3=4√3/3, или -4√3/3.

2.  a{2,1, 0}  b{1,2,-3}
     cosα=ab/|a|*|b|  ab=2*1+1*2+0=4
     |a|=√(2²+1²)=√5  |b|=√(1²+2²+3²)=√14
     cosα=4/√5*√14=4/√70
     α=arccos(4/√70)

Answer 2

1. Если длина вектора равна 4, то мы можем представить его в виде:

$|\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} = 4$

Где $v_x$, $v_y$ и $v_z$ - координаты вектора.

Так как все координаты равны между собой, мы можем записать:

$v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 = 4^2$

Так как все координаты одинаковы, давайте обозначим их как $v$:

$v^2 + v^2 + v^2 = 4^2$

$3v^2 = 16$

$v^2 = \frac{16}{3}$

$v = \sqrt{\frac{16}{3}}$

Таким образом, координаты вектора будут: $v_x = v_y = v_z = \sqrt{\frac{16}{3}}$.

2. Для вычисления угла между векторами $a$ и $b$, можно использовать следующую формулу:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}$

где $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ - скалярное произведение векторов $a$ и $b$, $|\mathbf{a}|$ и $|\mathbf{b}|$ - их длины.

Дано: $\mathbf{a} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j}$ $\mathbf{b} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 3\mathbf{k}$

Вычислим скалярное произведение: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (2\mathbf{i} + \mathbf{j}) \cdot (\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 3\mathbf{k})$ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 + 2 + 0 = 4$

Вычислим длины векторов: $|\mathbf{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ $|\mathbf{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}$

Теперь можем найти угол $\theta$:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|} = \frac{4}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{14}}$

$\theta = \arccos\left(\frac{4}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{14}}\right)$

Это приблизительно равно 72.93 градусов.