Question

Bn- геометрическая прогрессия. b6-b4=1700; b5-b3=340. Найдите b1 и q

Answer 1

B1-?
bn=b1*q^(n-1)-формула

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а её знаменатель (отношение) как $q$.

Так как даны разности между некоторыми членами прогрессии, мы можем записать следующее:

$b_6 - b_4 = 1700$ (1) $b_5 - b_3 = 340$ (2)

Мы знаем, что для геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_n$ - $n$-ый член прогрессии.

Разности $b_6 - b_4$ и $b_5 - b_3$ соответствуют разностям между элементами, которые имеют разницу в два шага (например, $b_6 - b_4$ означает $b_6 - b_4 = b_6 - b_5 + b_5 - b_4$). Используя это свойство и подставляя выражения для $b_n$ в (1) и (2), получаем:

$b_1 \cdot q^5 - b_1 \cdot q^3 = 1700$ (1') $b_1 \cdot q^4 - b_1 \cdot q^2 = 340$ (2')

Теперь мы можем разделить уравнение (1') на уравнение (2'):

$\frac{b_1 \cdot q^5 - b_1 \cdot q^3}{b_1 \cdot q^4 - b_1 \cdot q^2} = \frac{1700}{340}$

$\frac{q^2 \cdot (q^3 - 1)}{q^2 \cdot (q^2 - 1)} = 5$

$q^3 - 1 = 5 \cdot q^2 - 5$

$q^3 - 5 \cdot q^2 + 4 = 0$

Теперь мы можем попробовать разложить это уравнение на множители:

$(q - 1)(q - 2)(q - 2) = 0$

Из этого следует, что $q = 1$ или $q = 2$.

Если $q = 1$, то прогрессия становится арифметической, но это не удовлетворяет условиям задачи.

Таким образом, остается $q = 2$.

Теперь мы можем подставить $q = 2$ в одно из начальных уравнений, например, в (1'):

$b_1 \cdot 2^5 - b_1 \cdot 2^3 = 1700$

$32b_1 - 8b_1 = 1700$

$24b_1 = 1700$

$b_1 = \frac{1700}{24} = 70.\overline{8}$

Таким образом, $b_1 \approx 70.875$ и $q = 2$.