Question

Как упростить выражение 1) 1-2×(sin 36°×cos 9° + sin 9°×cos 36°)^2=? 2) ( cos 3°×cos12°-sin 3°×sin 12°)^2 + (sin 7°×cos 8° + sin 8°×cos 7°)^2=? Решите уравнение: cos^2 x + |cos x|=?

Answer 1

1)  1-2×(sin 36°×cos 9° + sin 9°×cos 36°)^2 =
= 1-2×(sin (36+9)°)^2 (использовали формулу синуса суммы) =
= 1-2×(sin 45°)^2 = cos (2×45°) (использовали формулу косинуса двойного угла) = cos 90° = 0

2)
( cos 3°×cos12°-sin 3°×sin 12°)^2 + (sin 7°×cos 8° + sin 8°×cos 7°)^2 =
= cos(3°+12°)^2 + sin(7°+8°)^2 = (cos 15°)^2+(sin 15°)^2 = 1

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое выражение по отдельности:

1. Выражение: $1 - 2 \cdot (\sin 36° \cdot \cos 9° + \sin 9° \cdot \cos 36°)^2$

Здесь можно воспользоваться тригонометрической формулой для удвоенного угла: $2 \sin x \cos x = \sin 2x$. Применим эту формулу:

$\sin 36° \cdot \cos 9° + \sin 9° \cdot \cos 36° = \frac{1}{2} \cdot \sin 72° + \frac{1}{2} \cdot \sin 18° = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sin 36° \cdot \cos 36° = \frac{1}{2} \cdot \sin 72°$

Таким образом, исходное выражение можно упростить:

$1 - 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot \sin 72°)^2 = 1 - (\sin 72°)^2$

Теперь используем тригонометрическую формулу $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, чтобы упростить дальше:

$1 - (\sin 72°)^2 = \cos^2 72°$

2. Выражение: $(\cos 3° \cdot \cos 12° - \sin 3° \cdot \sin 12°)^2 + (\sin 7° \cdot \cos 8° + \sin 8° \cdot \cos 7°)^2$

Здесь мы можем воспользоваться тригонометрической формулой для разности углов: $\cos(a - b) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b$.

$\cos 3° \cdot \cos 12° - \sin 3° \cdot \sin 12° = \cos (12° - 3°) = \cos 9°$

$\sin 7° \cdot \cos 8° + \sin 8° \cdot \cos 7° = \sin (8° + 7°) = \sin 15°$

Теперь упростим выражение:

$(\cos 3° \cdot \cos 12° - \sin 3° \cdot \sin 12°)^2 + (\sin 7° \cdot \cos 8° + \sin 8° \cdot \cos 7°)^2 = (\cos 9°)^2 + (\sin 15°)^2 = \cos^2 9° + \sin^2 15° = 1$

3. Уравнение: $\cos^2 x + |\cos x|$

Поскольку $|\cos x|$ всегда неотрицательный, то уравнение можно рассматривать в двух случаях:

a) Если $\cos x \geq 0$, то $|\cos x| = \cos x$, и уравнение примет вид: $\cos^2 x + \cos x$.

b) Если $\cos x < 0$, то $|\cos x| = -\cos x$, и уравнение примет вид: $\cos^2 x - \cos x$.

Теперь можно решить уравнение в каждом из случаев.

a) $\cos^2 x + \cos x = 0$ $\cos x (\cos x + 1) = 0$

Отсюда получаем два возможных решения: $\cos x = 0$ и $\cos x = -1$.

b) $\cos^2 x - \cos x = 0$ $\cos x (\cos x - 1) = 0$

Также получаем два возможных решения: $\cos x = 0$ и $\cos x = 1$.

Итак, уравнение имеет четыре решения: $\cos x = -1$