Question

Найти sin2a если sina=1/2 и pi/2<a<pi Найти tg2a если sina=1/2 и pi/2<a<pi

Answer 1

$sina= \frac{1}{2}\\\\ \frac{\pi}{2}\ \textless \ a\ \textless \ \pi \; \; \; \to \; \; cosa\ \textless \ 0\; ,\\\\ cosa=-\sqrt{1-sin^2a}=-\sqrt{1-\frac{1}{4}}=-\frac{\sqrt3}{2}\\\\sin2a=2\cdot sina\cdot cosa=-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt3}{2}=-\frac{\sqrt3}{2}\\\\ tg2a= \frac{sin2a}{cos2a}= \frac{sin2a}{cos^2a-sin^2a} = \frac{-\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{3}{4}-\frac{1}{4}}=-\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{2}{4}}=- \frac{\sqrt3\cdot 4}{2\cdot 2} =-\sqrt3$

Answer 2

Используя данные условия, мы знаем, что $\sin{a} = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{2} < a < \pi$.

Первый вопрос: Найти $\sin{2a}$. Известно, что $\sin{2a} = 2\sin{a}\cos{a}$. Мы можем найти $\cos{a}$ используя тригонометрическое тождество $\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1$: $\cos{a} = \sqrt{1 - \sin^2{a}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь, подставив значения $\sin{a}$ и $\cos{a}$ в формулу для $\sin{2a}$: $\sin{2a} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sin{2a} = \sqrt{3}$.

Второй вопрос: Найти $\tan{2a}$. Известно, что $\tan{2a} = \frac{2\tan{a}}{1 - \tan^2{a}}$. Мы можем найти $\tan{a}$ используя определение $\tan{a} = \frac{\sin{a}}{\cos{a}}$: $\tan{a} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Теперь, подставив значение $\tan{a}$ в формулу для $\tan{2a}$: $\tan{2a} = \frac{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{2\sqrt{3}}{3 - 1} = \sqrt{3}$

Ответ: $\tan{2a} = \sqrt{3}$.