Question

Решите уравнения : 2sin3xcosx=(√3) -2cos3xsinx

Answer 1

2(sin3xcosx+cos3xsinx)=√3
2(sin(3x+x))=√3
sin4x=√3/2
4x=2Пn1+2П/3
x1=Пn1/2+П/6 n1∈z
4x=2Пn2+П/3
x2=Пn2/2+П/12 n2∈z

Answer 2

Для решения данного уравнения, приведем его к более простому виду, используя тригонометрические тождества.

Начнем с тождества произведения синуса и косинуса:

sin(α)cos(β) = (1/2) * [sin(α + β) + sin(α - β)]

Теперь заменим α на 3x и β на x:

sin(3x)cos(x) = (1/2) * [sin(3x + x) + sin(3x - x)] = (1/2) * [sin(4x) + sin(2x)]

Аналогично для второго члена:

cos(3x)sin(x) = (1/2) * [sin(3x + x) - sin(3x - x)] = (1/2) * [sin(4x) - sin(2x)]

Теперь подставим обратно в уравнение:

2 * (1/2) * [sin(4x) + sin(2x)] = √3 - 2 * (1/2) * [sin(4x) - sin(2x)]

Упростим:

sin(4x) + sin(2x) = √3 - sin(4x) + sin(2x)

Теперь сгруппируем слагаемые синусов:

2 * sin(4x) = √3

Теперь найдем sin(4x):

sin(4x) = (√3)/2

Теперь разделим на 2:

sin(4x) = sin(60°)

Заметим, что sin(60°) = sin(π/3)

Теперь найдем значения x, для которых выполняется:

4x = π/3 + 2πn, где n - целое число

Таким образом, x = (π/12) + (π/2)n, где n - целое число.

Таким образом, уравнение имеет бесконечное множество решений, задаваемых формулой x = (π/12) + (π/2)n, где n - целое число.