Question

Докажите что уравнение х^3-5х+3=0 на промежутке [-3;-2] имеет корень.

Answer 1

Докажите что уравнение х^3-5х+3=0 на промежутке [-3;-2] имеет корень.

x=-3  y=-27+15+3=-9<0
x=-2  y=-8+10+3=5>0

на заданном отрезке функция имеет на концах отрезка значения разных знаков - в силу непрерывности функции она имеет корень на [-3;-2] .

Answer 2

Для того чтобы доказать, что уравнение $x^3 - 5x + 3 = 0$ имеет хотя бы один корень на промежутке $[-3; -2]$, мы можем использовать теорему о промежуточных значениях, также известную как теорему Больцано-Коши.

Теорема о промежуточных значениях: Если функция непрерывна на замкнутом интервале $[a; b]$ и принимает значения разных знаков на концах интервала, то существует хотя бы одна точка $c$ на интервале $[a; b]$, в которой функция равна нулю.

Проверим выполнение условий теоремы для уравнения $f(x) = x^3 - 5x + 3$ на промежутке $[-3; -2]$:

1. Функция $f(x)$ непрерывна на всей числовой прямой, так как она является полиномом, а полиномы непрерывны на всех значениях $x$.

2. Подставим $x = -3$ и $x = -2$ в уравнение $f(x)$ и найдем значения функции: $f(-3) = (-3)^3 - 5(-3) + 3 = -27 + 15 + 3 = -9$ $f(-2) = (-2)^3 - 5(-2) + 3 = -8 + 10 + 3 = 5$

Значения функции на концах интервала $[-3; -2]$ имеют разные знаки: $f(-3) < 0$ и $f(-2) > 0$.

Таким образом, все условия теоремы о промежуточных значениях выполнены. Следовательно, существует хотя бы одна точка $c$ на промежутке $[-3; -2]$, в которой $f(c) = 0$, то есть уравнение $x^3 - 5x + 3 = 0$ имеет корень на этом интервале.